浅谈数学创新思维能力的培养

左广兰

创造性思维是人类心理活动的高级水平，是一种创造性活动。创新思维主要是指归纳推理、类比推理、发散思维、逆向思维等多种思维形式，是思维的深刻性、广阔性、独创性、敏捷性的综合表现。

如何在新课程改革中培养学生的创新思维？笔者结合教学经验，提出了数学教学中培养学生创新思维的几点方法。

一、归纳推理

归纳是从一类事物的部分对象具有某一属性，而做出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法。它的一般推理模式是：

S■具有（或不具有）性质P；

S■具有（或不具有）性质P；

……

S■具有（或不具有）性质P；

（S■、S■、…S■是A类事物的部分对象）

所以A类事物具有（或不具有）性质P.因此，归纳是从个别到一般的推理方法。比如，“等差数列”一节中通过观察归纳几个数列的特点得出等差数列的概念；又如，通过引导学生观察下列式子：

a■=a■+d，a■=a■+d=a■+2d，a■=a■+d=a■+3d，…

归纳出数列a■■的项与数列的首项a■和公差d之间的关系：a■=a■+（n-1）d.

二、类比推理

类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同，推断出它们在另外的属性上（这一属性已为类比的一个对象所具有，另一个类比的对象那里尚未发现）也相同的一种推理。

它的一般推理模式为

A类事物具有性质a■，a■，a■，a■，

B类事物具有性质a■，a■，a■，

所以，B类事物可能具有性质a■.因此，类比是一种从个别到个别，或者是从一般到一般的推理。

波利亚指出：“类比似乎在一切发现中有作用，在某些发现中它有最大的作用。”数学研究中，常用的类比有数与形的类比，平面与空间的类比，一维与多维的类比，低次与高次的类比，相等与不等的类比，有限与无限的类比。在立体几何教学过程中，往往通过与平面几何的比较发现类似之处，结论的形式类似，解决问题的方法类似。如平面几何中的等角定理可以推广到立体几何中：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。运用类比的方法，将平面几何中的结论推广到立体几何中，然后再证明其是否成立。这样会大大增加学生的知识量，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性。

三、发散思维和聚合思维

发散思维是沿着不同的方向去思考，对信息或条件加以重新组合，找出几种可能的答案、结论或假设。聚合思维也叫集中思维。它是把问题所提供的种种信息或条件朝着一个方向集中，从而得出一个正确的答案或一个最优的解决问题的方案。

在创新思维培养中，发散思维起主导作用。发散思维具有灵活性、独特性。灵活性能突破思维定势的限制、使人产生新的构思，提出新的方法。独特性能使思维产生新的成分，对问题提出独特的见解。教师在教学中应有意识地培养学生的发散思维。

教学中可以从以下几方面入手：

1.消除思维定势。思维定势又称“习惯性思维”，是指人按照比较固定的、习惯的方法去考虑问题和解决问题，表现为在解决问题过程中作特定方式的加工准备。在学习过程中表现为，学生在解决一些常规问题时常常采用已掌握的解决同类问题的方法，从而加速了问题的解决，这种对问题的解决实际是对先前已经解决了的问题的练习和巩固。当学生在解决新问题时，采用一些已掌握、已熟悉的方法有时会使问题的解决出现困难，从而阻碍学生创造性的发挥。因此，教师在教学中要帮助学生克服思维定势的消极作用。如通过一题多解、一题多变等方法拓宽学生的思维空间，激发学生的探索兴趣，帮助学生克服思维定势。

2.鼓励学生学会提出问题。1994年，著名的美国教育家Silver论述了问题提出在课程和教学中的重要作用：问题提出是创新式教学的一种重要标志。

教师要尽可能地为学生提供“真实的”教学活动场景，使他们在教师的指导下以类似数学家的活动方式进行数学的再创造，以便在积极参与数学知识的获得过程中掌握探究技能，养成科学态度，形成创新意识。比如，在教学“等比数列的前n项和公式”一节时，首先给学生引入印度国际象棋发明者的故事，国王能否满足象棋的发明人、宰相达依尔的要求呢？以此激发学生思考和探索的热情，引导学生提出等比数列求和的问题，并探索如何解决这一问题。问题是思维的起点，学生的创新思维在遇到了问题才会引发出来的，这是培养学生创新思维的重要途径。

3.注重发散与聚合的统一。发散思维的最大特点是思考的方向多，面广。尽管发散思维的产物多种多样、千奇百怪，但它的出发点和落脚点都离不开聚合思维所得的结论。因此，在训练学生发散的同时，还要进行思维的聚合，也就是对发散的结果进行归纳和整理，找出共同的本质特征，这是提高发散思维质量的归宿。实际上，创新思维的形成是发散思维和聚合思维协调统一、综合运用、辩证发展的结果，它们互为前提、互相促进。

在实际教学中教师要有意识地培养和训练学生的发散思维，在这一过程中教师要转变传统的教育教学观念，不能单纯地传授知识，把学生当成是知识的接收器，要充分发挥学生学习主体的作用，激发学生主动探索的兴趣，教师不仅要采用灵活多变、富有创意的教学方法，还要创设刺激学生发散思维的情境，设计发散性的问题。同时教师还要适时地进行设问、反问、分析错因、反思结果，帮助并鼓励学生大胆假设、善于质疑，并将寻求结论的任务交给学生，经过长时期的锻炼，有利于促进学生发散思维习惯的形成，这就为创造性人才的培养奠定了基础。

四、逆向思维

在许多的问题解决中，需要将公式、法则逆用。学生缺乏这种自觉性和基本功，教学中应注意这方面的培养和训练。

例如，应用诱导公式求sin（-210°）。

做法一：sin（-210°）=sin180°■-（-210°）=sin390°=sin30°=■

做法二：sin（-210°）=-sin（210°）=-sin（180°+30°）=-（-sin30°）=■

做法一与做法二不同，做法一的sin（-210°）=sin180■°-（-210°）是逆用公式sin（180°■-α）=sinα体现了逆向思维过程。

教学中多注意对学生的逆向思维训练，引导学生做与习惯性思维相反的探索。证明题顺证不行就逆证；直接解决不行就间接解决；正面解决不了就考虑反面解决；探索问题的可能性有困难就探索其不可能性。

例如，一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

分析：如果线路正常工作，那么需要3个开关中至少有一个能够闭合，这包括恰有其中1个开关闭合、恰有其中某2个开关闭合、恰好有3个开关闭合等几种互斥的情况，逐一求其概率较为麻烦，为此，先求3个开关都不闭合的概率，从而求其对立事件——3个开关中至少有1个能够闭合的概率。

总之，正确巧妙地运用逆向转换的思维方法解决问题，常常使人茅塞顿开，使问题的解答变得简便，使思维进入新的境界。

【责编 田彩霞】