关于数学高考中函数图像的识别问题的探究

苏旭景

众所周知，函数图像的识别问题是高考中常见的题型，观察函数图像并能正确解读出图像所反映出的函数性质是“数形结合法”的基本要求，这也是“数形结合”的本质所在。

那么如何快速有效地解决此类问题呢？下面结合近几年的高考题谈一谈此类问题的常用解决方法。

一、利用函数的性质解决

要注意挖掘所给函数解析式本身的隐含条件，即函数性质如定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、正负性、极值点等，同时对于单调性不好识别的函数有时还要注意导数的应用。

例1，2013新课标（1）文第9题：函数f（x）=（1-cosx）sinx在-π，π的图像大致为（ ）

解析：首先因为f（-x）=-f（x）可知函数为奇函数，排除B。

其次只考虑x∈0，π的情形即可，又当x∈0，π时，f（x）≥0，于是排除A。

选项C，D的差别是单调区间或极值点位置不同，所以可以利用导数研究。

又因为f'（x）=sin■x-cos■x+cosx=-2cos■x+cosx+1，

由f'（x）=0得cosx=-■或cosx=1即x=■或x=0即为函数的极值点，故选C。

本例利用了函数的奇偶性、值域、极值（利用导数）等性质。

例2，2013 福建文5：函数f（x）=ln（x■+1）的图象大致是（ ）

【解析】根据函数解析式可知函数的定义域为R，故排除B选项

依题意得f（-x）=ln（x■+1）=f（x），即函数f（x）为偶函数，

即函数f（x）的图像关于y轴对称，故排除C；

又函数的值域为点0，+∞，排除D.故选A.

本例通过利用函数的定义域、值域、奇偶性轻松解决。

二、利用特殊点和极限思想解决

求解已知函数解析式判断函数图像的题目的另一有效手段是利用特殊值进行判断，即在已知函数的图像上选取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除；注意特殊值的选定，一要典型，能定性说明问题；二要简单，便于推理运算。

当然有时利用函数的变化趋势也可以进行选项的排除与筛选。

例3，2011山东：函数y=■-2sinx的图象大致是（ ）.

解析：首先因为f（-x）=-f（x）可知函数为奇函数，排除A。

因为f（2π）=π，排除B。

在x→+∞时，函数值选项分别趋于正无穷，排除D，故选C。

本例通过利用函数的奇偶性，特殊值，极限思想轻松解决。

三、利用图像变换解决

例4，2012湖北6：已知定义在区间0，2上的函数y=f（x）的图像如图所示，

则y=-f（2-x）的图像为（ ）

答案B。解析：f（x）与-f（2-x）的图像的变换关系是

f（x）关于y轴对称f（-x）向右平移2个单位长度，

f（2-x）关于x轴对称-f（2-x）。

当然此题也可用特殊值法解决：当x=0时，y=-f（2）=-1；排除A，D。

当x=1时，y=-f（1）=-1排除C，故选B。

本例利用了函数图像的变换或特殊值。

通过上述举例可见，要想解决好此类识图问题，应抓住图像基本的特征并结合相关的性质或利用特殊值、极限思想、函数图像变换等才能更好地识别图像解决问题，

【责编 张景贤】