探索与还原法在文科高等数学概念引入中的应用

摘要： 本文主要研究探索与还原法在文科高等数学概念引入中的作用，并用实际案例的方式探求：用还原法降低高等数学概念的抽象性，使得学生在接受概念的同时，进一步理解概念在实际生活中的应用。

关键词： 文科高等数学教学 探索与还原法 概念引入 实际应用

文科高等数学的教学对象是文科学生。所以在教学中，如果直接给出一些抽象晦涩的概念，接下来讲授纯粹的推理和逻辑，学生就很难产生学习兴趣。强行灌入概念会导致学生被动学习，很难达到预想的教学效果。我根据近年的教学实践，发现带动学生发现探索数学问题的背景，还原数学的实际意义，学生的学习兴趣更为浓厚，从而达到理想的教学效果。引导学生进行探索性学习也符合现代的教学理念，教育者的共识是：任何创造、发明都起源于问题，把学生课堂学习的过程变成学生探索问题、解开谜底的过程，就可以把学习变成内在的需要和工具。在数学概念的引入过程中也要培养学生的问题意识，问题的提出和概念作为工具性能的引入可以提高学生解决问题的能力，并理解概念在解决问题的过程中所具备的自然性和必然性，进而培养学生创新精神和实践能力，这也是现代教学改革的重要目标和任务。以下是我在教学中一些具体的案例，从这些案例中我们可以看到探索性学习的意义所在。

一、探索性学习，可以还原一些问题的实际背景，有助于学生理解抽象的数学概念。

案例一：极限的引入

对于初次接触高等数学的学生而言，极限这一概念，即便引入“日取一半，终究而竭”等典故，学生接受起来还是有一定的难度。如果开始就用ε-δ的方式，则学生更觉得是非常勉强地被灌入一个陌生的概念。我是用如下方式引入的：先请学生分别计算■×3和0.3×3，让学生产生疑惑：为什么1与0.9的差别最后消失？然后再引入极限的概念，这对于抽象思维差一点的文科生相对容易接受，毕竟他们能够很容易地计算这两个式子，知道两者是相等的。这样，把抽象的概念还原到小学数学的知识背景中，让他们能够在疑惑之后很自然地接受极限的概念。这个概念对于以后定积分的讲授也是有帮助的。

案例二：定积分的概念引入

把一个大的困难问题分散成若干小问题，然后分0NUcPWBfqL2bLYFV6YHXTA==别处理，最后综合协调，将这个大的问题解决，这样的解决方案符合一般人的思维习惯。这种方式也适合定积分概念的引入。所以，为降低学生对定积分概念的理解难度，针对自己所教的园林地理专业，我首先和学生一起复习规则图形的面积公式，然后给出一些可以分散成三角形，矩形，圆形等图形的不规则图形，要求学生计算出面积。最后给学生一些不规则但边界曲线保持连续的图形，要求学生算出面积。学生解决问题的积极性很高，先各个击破，再集中处理，最后沿用书上关于图形面积的讲授，也即分割、取近似、求和、取极限，学生接受起来容易，所达到的效果较直接讲授更好。

案例三：秩的概念引入

矩阵概念的引入通常是用线性方程组的实际背景而引入的，然而在讲述秩的概念的时候，通常却离开了这一背景，直接用最大非0的子式存在性来找寻阶数，用以定义矩阵的秩。对于学生而言，接受起来是比较困难的，并且感受不到“秩”的用途。我结合矩阵与方程组的紧密联系引入：从方程开始，我主要给学生信息安全方面的应用，探求性地引入方程组。当学生理解一个又一个的方程是信息点，是用以解决未知的信息盲点的时候，对矩阵的秩有了更直观的感受。秩实际是描绘有用方程的个数，在应用中，其实就是描绘有用的信息点。对于已知信息点的重叠和组合，表现在线性方程组上就是方程的同解方程或其他几个方程的线性组合，这样的信息是其他信息点的重述，可以舍弃不用，表现在矩阵上，就是对秩不会有增加作用，所以秩可以描绘有用方程的个数。这样学生接受比较容易，并且对化解一般矩阵为最简型矩阵的线性方法也有一定体会。诸如矩阵的初等变换，学生一般只是死记。但学生如果明白矩阵与线性方程组的实际背景，还原到实际应用中，方程两边同时乘以0，就会使得这一个方程消失，从而导致信息点丧失，对矩阵的初等变换一定要在某行（列）乘以非0的数就能够理解了。对于矩阵行列互换只是信息点以不同顺序输入；把某行（列）的k倍加到某行（列）上，对于实际背景，是信息叠加。这样，学生对三种初等变换对秩没有影响就更深有体会。这种教学方法不仅能提高学生的学习兴趣，而且能有效提高他们的学习和应用能力。

二、探索性学习，把很多实际问题归结为数学知识来解决，有助于理性思维的培养。

这对于文科学生而言，是大有裨益的。在概率的讲授中，这方面的作用尤其明显。概率与统计本身就来源于生活实际，开始给学生讲授生活中的现象，然后把这些现象归结于概率，无疑是很好的引入方法。我在这方面的讲解中，更注重引导学生思考：第一个人为什么会注意到这种现象，为什么会用数学的知识来解释？琐屑小事的发生频率，某一些赌博现象，看起来平凡的事件，为什么就引起概率这一系统性学科的发展？归根到底，是因为规律的存在。在讲授随机事件的同时，我也鼓励学生探索，在纯人文的学科中，如果找到某种规律，是否也可发展成某一个完整的体系和学科。学生受到鼓励，能够大胆用自己的语言描绘概率的概念，然后和书上对比，理解经典概念的准确性。这样，比老师在黑板上直接给出概念所达到的效果更为理想。

现代教学强调以人为本，因为我们的教学对象是擅长直观和形象思维的文科学生，因此在完成数学教学任务的前提下，既要降低数学的抽象性，又得让他们理解所有大纲要求的知识点，教师要下一番工夫：不能照本宣科，要引导学生主动参与、乐于研究，从而形成积极主动的学习态度。而在实际的课堂教学中培养学生的探索意识，善于发现问题的背景，并能自主理解概念定义的合理性，不仅有助于学生理解数学概念，更能较好地培养学生的创造性思维能力。

参考文献：

[1]宋际平，龙述君.大学文科数学[M].北京：邮电大学出版社，2011.

[2]王章雄.大学文科数学[M].北京：人民大学出版社，2007.

[3]汪国柄.大学文科数学[M].北京：清华大学出版社，2005.