最重要的数学问题

　　摘要： 数学问题是驱动数学发展的重要原动力。本文简要介绍了黎曼猜想的发展历史，旨在说明黎曼猜想对整个数学学科的重要性，激发数学初入门者探索数学问题的兴趣。
　　关键词： 最重要的数学问题黎曼猜想克雷数学问题
　　
　　有没有最重要的数学问题呢？当然，已经解决了的问题就不是问题了。所以问题应该是：在没有解决的数学难题中，有没有一个是最重要的问题？虽然数学家们的答案不完全一致，但当今的绝大多数数学家认为：最重要的数学难题就是著名的黎曼猜想。
　　黎曼是德国的数学家，于1826年出生于汉诺威一个牧师家庭，虽然他在中学时代就对数学表现出浓厚的兴趣和出众的才能，但他父亲希望他也成为一名牧师，黎曼终于还是按照父亲的意愿，在中学毕业后进入著名的哥廷根大学攻读神学。在第一学年，哥廷根的科学传统和伟大的高斯就深深地影响了黎曼，他给父亲写了一封信，提出了想从神学专业转到数学专业的想法。不久他收到父亲的祝福，于是立即投入到大学数学学习中，从此走上职业数学家的道路。
　　在1859年11月，黎曼在柏林科学院的院报上发表了一篇10页长的关于Zeta函数（ζ（s）=■■）与素数的关系的论文，这篇不长的论文即将对数论研究领域带来如何的影响，谁也无法预料。通过Zeta函数这面镜子，黎曼看到了变形后的素数的形式。黎曼的论文就像《爱丽丝漫游奇境》中的兔子洞，将数学家领到一个全新的、与直觉相反的数学世界中。在随后的日子里，数学家逐渐掌握了这种新的角度，他们开始理解黎曼的发现的必然性与卓越性。
　　黎曼在论文中对Zeta函数的零点分布给出一个猜测，这就是黎曼猜想（即ζ（s）的零点都在s复平面上的黎曼临界线，即实部为■的直线上）。在涉及自己的猜想时，黎曼毫不隐瞒自身的弱点：“我应当给出一个严格的证明，但是我在数次徒劳尝试之后，我不得不先将它搁置一旁，因为这并非我当下要完成的目标。”他的论文的目标是证明高斯猜想，虽然黎曼并没有最终达到这个目标，即给出高斯素数猜想的证明答案，但是他的论文指出了研究这个领域的全新方法，并一直延续到了今天。
　　黎曼猜想提出后，引起了各个时代最杰出的数学家的注意，许多大数学家投入了大量的精力对其进行了精心的研究。哥廷根大学的朗道（Edmund Landau）和他的丹麦同行玻尔（Harald Bohr）一起发起了对黎曼猜想的第一次有重大战果的攻击，证明了Zeta函数的大部分零点都落在黎曼的临界线附近。紧接着，英国在经过两个世纪的对欧洲大陆思想的漠不关心后，英国数学界终于有了突破，剑桥大学三一学院的数学家哈代（Hardy）在1914年证明了有无穷多个零点落在临界线。从那以后，从哥廷根到剑桥三一学院，再到普林斯顿高等研究院，再到巴黎的高等科学研究院……朗道、哈代、利特伍德、拉马努杨、西格尔、塞尔伯格、阿兰·科纳……随着数学的中心的迁徙和新的学派的形成，一个又一个杰出的数学家接住了向黎曼猜想进军的接力棒。一个又一个的研究成果出来了，对黎曼猜想的研究一直有不断进展，最近的研究结果颇为出人意料，是在研究基本粒子的量子物理的结果与黎曼猜想之间建立起了某种联系。
　　当年黎曼提出黎曼猜想是为解决高斯素数猜想，而随着黎曼猜想研究的进展，高斯猜想也在1900年由法国数学家阿达玛给出了证明。但数学家们就是无法最终解决黎曼猜想，而随着研究的深入人们越来越发现黎曼猜想的重要性。于是有些数学家就另辟蹊径，先假设黎曼猜想成立（这就是黎曼猜想又称黎曼假设的原因），再在此前提下做研究，由此得到不少于上百个重要或深刻的结果，有些还是数学史上悬案已久的著名难题。即只要黎曼假设成立，这些结果就统统成立。例如我国著名数学家王元在1960年代就是在黎曼假设下证明了哥德巴赫猜想（1+4）。黎曼猜想的重要性由此可见一斑。
　　德国数学家希尔伯特在1900年的巴黎国际数学家大会上向新世纪的数学家提出了著名的二十三个问题，黎曼猜想就名列第八。希尔伯特曾预言，在他的有生之年可以看到黎曼猜想的解决，但直至希尔伯特逝世的1940年代乃至于今天，100多年过去了，虽然每个时代人类第一流的头脑都在思考这个问题，也在连续不断取得新的成果，但人类不但没有解决黎曼猜想，就连离解决黎曼猜想还要走多远的路，也都说不出个所以然。对黎曼猜想，有的数学家却持另外一种观点，他们认为：黎曼猜想最好不要解决，黎曼猜想就像一只会持续下金蛋的鹅，把它解决了反而像把鹅宰掉一样。因为数学家试图解决黎曼猜想而提出的种种崭新而深刻的研究方法，极大地开阔了人类研究的视野，促进了整个数学学科的发展。
　　上面所说的剑桥大学的数学家哈代是二十世纪上半叶最重要的数学家之一，他是一个无神论者，喜欢时不时跟上帝开个玩笑。每一次当他要乘船渡过波涛汹涌的英吉利海峡时，就会给他的朋友寄一张明信片，告诉他们说他已经想出了解决黎曼猜想的办法。他解释说：如果我解决了黎曼猜想，而还没有将其证明发表出来，上帝就不会让船沉没，否则，人们就会传说，哈代与黎曼猜想的证明一起沉到海底，上帝就要背上弄丢黎曼猜想证明答案的黑锅。哈代跟上帝争战的策略成功了，每次他都安全地返回英国。哈代还说过，如果他能像古代的巴巴罗萨国王那样沉睡五百年后醒过来，想说的第一句话就是：“黎曼猜想解决了吗？”
　　在2000年新千年来临之际，作为对100年前的1900年希尔伯特提出著名的二十三个问题的回应，总部位于马萨诸塞州剑桥市的克雷数学研究所于2000年5月24日公布了七个千禧年大奖难题（其中包括黎曼猜想在内）。这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决。”解答任何一题的第一个人将获颁予一百万美元奖金，以此向新世纪的数学家提出挑战。于是在今天，黎曼猜想的证明有了价值——100万美金。不过在此之前，早已有数学家提出另一个显然更宏大的方案：如果黎曼猜想得到解决，全世界的数学家就应统统放假一个月，以隆重的方式庆祝一番。
　　
　　参考文献：
　　［1］［英］索伊托著.孙维昆译.素数的音乐［M］.湖南科学技术出版社，2007.