导数在生活中的应用举例

摘 要：在日常生活、生产和科研中经常遇到求利润最大、费用最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，我们可以通过利用导数的应用来解决这类问题.

关键词：导数 生活 应用

中图分类号： O172？ 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）05（c）-0000-00

对于一个实际问题，我们可以建立数学模型，就是列出变量之间的数学关系式（函数解析式），求出函数的最大值或最小值，从而达到解决最优化问题.

我们知道在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值，这在理论上肯定了最值的存在性，但是怎么求出函数的最值呢？首先假设函数的最大（小）值在开区间内取得，那么最大（小）值也一定是函数的极大（小）值，使函数取得极值的点一定是函数的驻点或导数不存在的点。另外函数的最值也可能在区间端点上取得。因此我们只需把函数的驻点、导数不存在的点及区间端点的函数值一一算出，并加以比较，便可求得函数的最值。

例1 有一个铁路线上段的距离为100，某工厂距点为20，，要在线上选定一点向工厂修筑一条公路.已知铁路线上每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为，为了使货物从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何处？

分析 这是一道实际生活中的优化问题，建立数学模型，运用导数知识求函数的最值非常简单.

解析 设点选在距离点处，，则

设铁路上每千米货运的运费为，则公路上每千米的运费为（为常数）.设从点到需要的总运费为，则，即

.

下面求在区间上的值，使函数的值最小.

上式两边求导数，得

令，得，，故.

因为，所以，这时，与闭区间端点处的函数值相比较，由于，，因此，当时，的值最小，即点应选在距离点处，这时，货物的总运费最省.

点评 以导数为工具分析和解决一些函数问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题，关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景.

例2 某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

分析 运用导数的基本思想去分析和解决问题，用导数的知识求可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的具体体现.

解析 （1）改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），

∴与的函数关系式为

（2）由得，（舍）

当时；时，∴函数 在取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

答：该商品售价定为每件30元时，所获利润最大为23000元.

点评 导数的引入，大大拓宽了高职数学知识在实际优化问题中的应用空间.

例3 设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时.中午12：00相应的，中午12：00以后相应的取正数，中午12：00以前相应的取负数（如早上8：00相应的，下午16：00相应的）.若测得该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8：00与下午16：00有相同的变化率.（1）求该物体的温度T关于时间的函数关系式；（2）该物体在上午10：00到下午14：00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？

分析 求闭区间上连续函数的最值、极值时，通过研究导函数的符号，列表求得该函数的单调区间、极值点（极值）、端点值，从而求得最大值.也可以不讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可.

解析 （1） 因为，

而， 故，

.

∴.

（2） ， 由

当在上变化时，的变化情况如下表：

-2

（-2，-1）

-1

（-1，1）

1

（1，2）

2

+

0

-

0

+

58

增函数

极大值62

减函数

极小值58

增函数

62

由上表知当，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃.

点评 列表法是导数应用的一种基本方法，虽然列表的过程稍微有点复杂，但从表格中可以直接得出极值点、单调区间、最值.函数的极值与函数的最值时有区别和联系的：函数的极值是一个局部性的概念，而最值时某个区间的整体性的概念.

本文主要通过三个实际例子说明导数在生活中的应用，为解决实际问题提供有力的帮助.

参考文献

【1】王荣成.数学.苏州大学出版社.1998.

【2】杨学坤.全国成人高考指导丛书《数学》.苏州大学出版社.2010.

【3】《高等数学辅导》盛祥耀 主编