正指数Sobolev空间中函数的描述

摘 要：本文从研究正指数Sobolev空间中函数的逼近入手，用多分辨率分析构造逼近的性能，恰当的找到了正指数Sobolev空间中函数的等价性的描述和模的等价形式，这一结论成为我们深入刻画函数空间的又一有效工具。

关键词：多分辨率分析 Sobolev空间 分布 模

中图分类号：O174.4 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）02（a）-0232-02

1 引言

在我们通常所使用的函数空间中，Sobolev空间是较为经典的一类函数空间，并且由多分辨率分析在这一空间构造所得的相关定理和结论可以推广到其它一些函数空间中去。鉴于此，本文作者用正交级数的分解来刻画正指数Sobolev 空间中函数的等价形式，并有效地估计了函数的模，这一分解补充了Berstein不等式，使之更为精确地描述了Sobolev空间中函数的特征。

我们从研究正指数Sobolev空间中函数的逼近开始，先给出这个空间的定义。当时，与重合。如果，，并且它的所有的在分布意义上的导数也属于，则称。同样也可以用<来定义，这是当，且不再是整数时的定义。

在Sobolev空间中，我们可以用多分辨率分析构造函数的逼近的性能。设是的一个正则多分辨率分析，用表示在中的正交补，表示在上的正交投影算子，从而在上的正交投影算子不是别的，就是=-。因此等价于，进而有：

2 基本结论

利用上述分解可以对正指数的Sobolev空间进行刻画，我们有一重要定理，结论如下：

定理2.1：设，是的一个正则多分辨率分析，0〈〈，则当且仅当，且，其中，而。此外，在中的模等价于的模与级数的模之和。

证明：充分性。若，使得，其中，则。事实上，已知包含在中，因此，只要并且，就有属于。为讨论，用表示足够小使得成立的数，我们使用的Hilbert结构，有：

必要性。设是一个属于的分布，而是一个对于足够大的满足的试验函数，显然有：

设，构造，使得，并且，最后选择，满足及，在此条件下有，因此

从上述定理的刻画中，我们自然的想到，是否可以用多分辨率分析找到正指数的Sobolev空间中函数的等价性描述呢？这是个有意思的问题，答案是肯定的，主要结论如下：

定理2.2：的充分必要条件是其中，且在中的模有等价形式：

上述分解中的，和都是足够光滑的。

由引理可知并且是次可微的，从而。根据Berstein不等式，我们有：

而由上述引理的结论及<，不难得到

因此，

接下来证明>0时，定理的充分性。由很容易看出。而当时，，从而可以得到。

下面推导模的等价形式。由Bessel位势的特征及Marcinkiewicz定理易知

综上，>0时，定理的结论得到了证明。

综上命题得到了证明，从而找到了正指数的Sobolev空间中函数的等价性描述。这一结论进一步从理论上深化了我们对Sobolev空间的认识，并且这一刻画方法为我们研究其它函数空间提供了有力的基础，拓宽了分析空间的思路。定理作为一个新的工具以简单的方式表达了函数和分布的性质。

参考文献

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