用波利亚解题表解2012年广东中考数学压轴题

摘 要： 数学问题的解决是数学学习的核心.本文利用波利亚的解题表剖析2012年广东中考数学压轴题，以提供数学解题的有效思路和方法.

关键词： 2012年广东中考数学压轴题 数学解题 波利亚解题表

1.理论背景

美国数学家哈尔莫斯认为：“问题是数学的心脏.”美籍匈牙利数学家波利亚说：“掌握数学就意味着善于解题.”但在平时的解题中，学生常常会提出这样的疑惑：“我应该怎样着手去分析这些数学题？”“为什么有些同学可以很容易地就想出了它们的解决方法？他们是怎么想的？”而作为教师，我们也应常常思考：“我应该怎样让学生学会自主分析呢？对于数学解题，有没有一般性的解题方法呢？”

正是基于这样的一些考虑，波利亚形成了著作《怎样解题》.书中的解题表给我们提供了解题的一般方法.他将解题过程分成四个步骤：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾.下面我们利用波利亚的解题表剖析2012年广东中考数学压轴题，以提供数学解题的有效思路和方法.

2.考题呈现

例：（2012广东22）如图1，抛物线yx轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合）.过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

图1

（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值，此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）.

易得：AB=9，OC=9.下面主要讨论（2）、（3）小题.

2.1利用波利亚解题表剖析小题（2）.

第一步：弄清问题

问：已知是什么？

点E从点A出发，沿x轴向点B运动，直线l平行BC，AE的长为m，△ADE的面积为s，另外，别忘了还有AB、OC的长.

问：未知是什么？

s关于m的函数关系式，自变量m的取值范围.

问：要确定未知，条件是否充分？

自变量m的取值范围是容易得出的，但要求△ADE的面积s似乎还有点难度.

画个图试试，把不必要的部分删除（如图2），看能否把已知和未知联系起来？

图2

第二步：拟订计划

问：你是否见过类似的图形？它与哪个知识点相关？

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.这是我们常做的题型.

问：你是否知道一个可用得上的定理？

可以用相似三角形的面积比等于相似比的平方，而且相似比容易求出，只是两个三角形的面积都是未知的.

问：回到已知，能否借助它们求出三角形的面积？

AB、OC分别是△ABC的底和高，可以利用它们求出△ABC的面积.

第三步：实现计划

第四步：回顾

这里用到相似三角形的判定和性质，看看每一步都是有根有据的，面积也没计算错，最后记得不要漏了m的取值范围.

2.2利用波利亚解题表剖析（3）小题.

第一步：弄清问题

问：已知是什么？

问：未知是什么？

△CDE面积的最大值；圆E的半径及面积.

问：要确定未知，条件是否充分？

这个似乎有点难，△CDE的底和高都未知且是变量，无法从定义求出它的面积.

第二步：拟订计划

问：回归题目，认真观察图形及已知，有几个三角形的面积能加以利用，把问题转化为已知？

没错，我可以先求出△ACE的面积，再减去△ADE的面积求出△CDE的面积.

问：圆E的面积怎么办？你原来做过类似的题吗？

我再画个图试试，只要能确定点E的坐标，就可以确定圆的半径.求半径可以利用三角形相似的性质，坐标系中两个直角三角形相似是我曾经做过的，只需再知道BC的长度，这可以利用勾股定理实现.

第三步：实现计划

第四步：回顾

这道题用到了图形的割补，二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及圆的切线的性质，结果是较大的数，然而检验过程没有错误.我还发现，求△CDE的面积时，也可以先求出△BCE的面积，再用△ABC的面积减去△ADE和△BCE的面积.

3.反思

波利亚指出：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”“是什么促使你这样想，这样做的？”。这就是说，解题过程是思维过程，是把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程.波利亚解题表中的问题多是解题者自问自答，它让解题者从所学中寻找解题方法，把暂时未能解决的问题转化为我们曾经遇到过的题目.它为我们呈现了人们分析、解答数学题的心理过程，学生可以从中洞察数学解题思维的过程.但反思整个解题过程会发现，掌握基础知识再加大量的解题经验，才是我们最终得以解决问题的基础.