2012年浙江省高考数学（文科）第22题解法探析

2012年浙江省高考数学（文科）试卷第22题：

如图1，在直角坐标系xy中，点P（1，）到抛物线C：y=2px（p>0）的准线的距离为，点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.

（1）求p，t的值；

（2）求△ABP的面积的最大值.

图1

本题突出考查了解析几何中的直线与抛物线的位置关系、面积、点到直线的距离公式等主干知识，强化能力立意，加强了解析几何与函数、方程、导数等相关知识的链接、渗透与融合.注重在知识网络的交汇点处设计试题，在强调考查函数与方程思想、化归与转换思想，强调考查通性通法的同时，增加了运算处理能力的考查.

命题者提供的参考答案是：

解法一：

（1）由题意2pt=11+=得p=t=1

（2）设A（x，y），B（x，y），线段AB的中点Q（m，m），

由题意知，直线AB的斜率肯定存在，设直线AB的斜率为k（k≠0），

∵y=xy=x，∴（y-y）（y+y）=x-x，∴k·2m=1，∴k=.

∴直线AB的方程为y-m=（x-m），即x-2my-2m-m=0.

又x-2my+2m-m=0y=x，

∴y-2my+2m-m=0，且△=4m-4m>0，

y+y=2m，y·y=2m-m，

从而|AB|=|y-y|=·.

设点P到直线AB的距离为d=，

∴S=|AB|·d=|1-2（m-m）|.

由△=4m-4m>0，得0

令u=，u∈（0，]，∴S=u（1-2u）.

设S（u）=u（1-2u），（0

S′（u）=1-u，由S′（u）=0，得u=∈（0，]，

∴S（u）=S（）=.

故△ABP的面积最大值.

解法二：

（1）同解法一.

（2）设A（x，y），B（x，y），直线AB的方程为：x=ay+b（a≠0），

由y=x ①x=ay+b ②得y-ay-b=0.

∴y+y=a，y·y=-b，△=a+4b>0，

又∵线段AB被直线OM平分，∴AB的中点（，）在直线OM上.

∴a+2b=a即2b=-a+a，∴△=a-2a+2a>0，∴0

|AB|=|y-y|==·=·.

设点P到直线AB的距离为d==（0

∴S=[2-（-a+2a）].

令=u（0

S′（u）=-u，令S′（u）=0得u=∈（0，1]，

∴S（u）=S（）=，∴S的面积的最大值为.

解法三：

（1）同解法一.

（2）设A（x，y），B（x，y），因为直线的斜率肯定存在，

设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0），

由y=kx+b ①y=x ②得kx+（2kb-1）x+b=0，

∴x+x=-，∴x·x=.

△=（2kb-1）-4kb>0，即1-4kb>0，

又AB被直线OM平分，∴=，

得k=1-2kb，即b=，∴△=1-4k·>0，∴k>.

∴|AB|=|x-x|=

==.

点P到直线AB的距离d==.

∴S=|AB|·d=·=·（k+-1）=·=·=[1-（-）]

令=u（0

记S（u）=u（1-u），S′（u）=（1-u）=0得u=∈（0，1]，

∴S（u）=S（）=，故△ABP的面积最大值为.

另在解法三中，若由①得x=-代入②则类同解法二.

三种解法的繁与简源于直线方程的不同设法：

解法一：直线AB与抛物线相交，且与线段AB的中点位置有关，故可用“点差法”属通法；解法二：设直线AB方程为：x=ay+b（a≠0）好于方程组的整理，也属通法.解法一、二在表示△ABP的面积分别为S=[1-2（m-m）]，S=[2-（-a+2a）]后，由此较容易想到换元法，再利用导数求最值从而简化了运算.解法三中设直线AB方程为：y=kx+b（b≠0）更符合通法，但从S=（k+-1）化到S=×[1-（-）]，再用换元法求最值，在高考限定的时间里找到中间的过渡方法是极其困难的.若直接用导数求最大值，学生则会感觉无法进行下步的运算，因此在最通法中处理运算时要走独木桥是此题的遗憾之处.理想的命题应当是：设直线AB方程为y=kx+b，面积的表达式出来后，用最通的“通法”导数求最值可解才是上上之作.

从本题三种不同解法中获得对平时教学上的几点启示：

1.根据“题情”选“设法”.

解法一、二的设直线方程，是有“题情”为据的，它的解题过程更简捷些.其实因题设条件不同，用不同的方法，各有长短，需要针对具体的情况选择合理、简捷、有效的解法.如果方法选择不当，则往往会导致计算烦琐，不仅不易得到正确的结果，反而会浪费宝贵的时间.

2.加强通性通法.

本题考查学生对“通法通性”的理解与掌握程度，以及数学素养，思维能力.如本题中：①利用抛物线的定义求出p，t；②对“线段AB被直线OM平分”这个条件作出合理的转化；③直线方程的设法；④利用导数，换元法求面积的最值等都属于通性通法.首都师范大学教授张饴慈说过：如果在学生学过用导数求最值的一般方法后，我们故意出一道用导数无法求解的题目，而用一种只对这一道题有用的方法来解，势必引导教师在教学中，去找这样的偏题怪题来做，而忽视了通性通法的学习.出这样的题，只能让学生都远离数学，怕数学，甚至恨数学，应该反思.据此本题解法二若能设计成直接用导数可求得最大值更为理想.

因此教师在平时的授课时，更应注重通性通法，选择典型例题，以此为载体对比辨析，渗透通法，注重学生总体与提炼，聚集基本思想方法灵活运用，提升学生的思维层次.

3.注重解题反思

著名教育家波利亚说：“没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨，总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们都能提高自己对这个解答的理解水平.”他打比方说在你找到第一个蘑菇（我有了这个发现后）要环顾四周，因为它们总是成堆生长的.事实上本题三种解法中，用k==代入的面积表达式后，三者又是统一的，这不就说明了这一点吗？同时，这也启示教师在平时应注重解题反思，因为解题的反思，会给我们带来意外的收获，体验探索成功的快乐，加深对知识的理解.

参考文献：

[1]2012年普通高等学校招生统一考试试题、参考答案.浙江省教育考试院，2012.6.