一道课本习题的解法探究

在人教版《数学》教材八（上）第13章《轴对称》配套的练习册上有这样一道几何习题：

题目 如图1，△ABC中， AB=AC，D为BA延长线上一点，E为AC上一点，且AD=AE，求证：DE⊥BC。

对于上述问题，从不同的角度进行思考探究，可得到不同的解法。

一、借用辅助平行线求解

解法1 如图2，过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，则∠F=∠ACB，∠1=∠3。

又AB=AC，AD=AE，

所以∠B=∠ACB，∠2=∠3。

所以∠F=∠B，∠1=∠2。

由∠F=∠B，可知△DBF为等腰三角形。

因为∠1=∠2，

所以DE⊥BC（等腰三角形中三线合一）。

解法2 如图3，过A点作AH∥BC交DE于H，则∠1=∠B，∠2=∠C。

因为AB=AC， 所以∠B=∠C，所以 ∠1=∠2。

又因为AD=AE， 所以 AH⊥DE（等腰三角形中三线合一）。

因为AH∥BC，所以DE⊥BC。

解析3 如图4，过点D作DK∥BC交CA的延长线于K，则∠1=∠B，∠K=∠C。

因为AB=AC， 所以∠B=∠C ，所以∠1=∠K， 所以AK=AD。

又因为AD=AE， 所以AK=AD=AE，

所以∠KDE=90°，即DE⊥DK。

因为DK∥BC，所以DE⊥BC。

解法4 如图5，过点E作EP∥BC交AB于P，则∠1=∠B，∠2=∠C。

因为AB=AC，所以∠B=∠C，

所以∠1=∠2，

所以AP=AE，又AE=AD，

所以AP=AE=AD。

所以∠DEP=90°，即DE⊥PE。

因为PE∥BC，

所以DE⊥BC。

解法5 如图6，过点A作AM∥DE交BC于M。

请有兴趣的读者依照上述思路探索证明。

二、利用垂直的定义证明

解法6 如图7，延长DE交BC于N，由AD=AE，AB=AC，

可得∠1=∠D，∠B=∠C。

又∠1=∠2， 所以∠D=∠2。

又∠D+∠B+∠3=180°=∠2+∠4+∠C，所以∠3=∠4。

又∠3+∠4=180，所以∠3=∠4=90°。

即DE⊥BC。

解法7 如图8，延长DE交BC于G，

由AD=AE，AB=AC，可得∠D=∠1=∠2，∠B=∠C。

所以∠3=∠B+∠D=∠C+∠2。

又∠3+∠2+∠C=180°，所以2∠3=180°，所以∠3=90°。

即DE⊥BC。

解法8 如图8，因为∠BAC=∠D+∠1=2∠D，

又∠BAC+∠B+∠C=180°， 即∠BAC+2∠B =180°，

所以2∠D+2∠B =180°， 所以∠D+∠B =90°。

所以∠DGB=90°。

即DE⊥BC。

由此可见，思考的角度不同，所应用的知识点不同，得到的相应解法也不同，上述几种解法各有特点，尤其以解法6为最佳。在平时的学习中，同学们要加强一题多解、一题多变、多题一解的训练，要善于反思，乐于探究，勤于总结。只有这样，才能激活思维，拓展思路，提高解题能力。