解析几何学习的三个境界

“没有规矩，无以成方圆”，做人如此，学习亦然. 这里所说的守规矩，指的是对概念、定义、公式、思想、方法等理解深刻、准确，应用熟练，遵循“本本分分，踏踏实实”的原则，去除浮躁、畏繁心理.

（2009浙江）已知椭圆C1：■+■=1（a>b>0）的右顶点为A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设点P在抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N，当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.

以第（2）小题为例，从当年高考情况来看，得分非常低，很多学生都反映不知从何下手，其实在大部分解析几何问题的求解过程中，只要严格按照问题的逻辑结构，循序渐进，严守数学思维的一般规矩（此即本文所说的守规矩），即可求解，并非想象中的那么困难. 为更好地说明问题，下面将分步说明.

解析 （1）■+x2=1.

（2）如图1，A（1，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），P（t，t2+h），构造直线MN的方程；求MN中点的横坐标x3及线段PA中点的横坐标x4.

抛物线C2在点P处的切线斜率为k■=y′∣x=t=2t，MN：y=2tx－t2+h.

至于交点问题，无非是韦达定理的应用. 所以代入■+x2=1？圯（4+4t2）x2+4t（－t2+h）x+（ｔ2－ｈ）2－4=0，Δ1>0，x3=■=■；x4=■. x3=x4？圯■=■.

形式整理好：t2+（1+h）t+1=0，从方程中产生不等式Δ2=（1+h）2－4≥0，得h≥1或h≤－3.？摇当h≤－3时，Δ1>0不成立，所以h≥1.

反思 从解法可以看出，只要顺应思维规律，按部就班，即使没有什么花哨的东西，只要守住数形结合，守住基本方法（待定系数法），就能成功解决问题. 这就是守规矩，并无特别之处.

当然，要获得更完美的结果和学习效益，单纯地守规矩是不够的. 解析几何的路能否走得更远，能否看透问题本质，还需要其他东西来加以辅助.

通过反思、归纳等形成自己的独到理解和掌控知识的能力与心得. 解析几何从题目的特征上归纳起来就是“求”（方程、离心率、坐标、存在、证明等），x3+nSGMRqi2mvQ3X7PrXhIwefrOTVJCNB+KtKhEecMw=主要是求数和式（多数情况下的求解过程得不出具体的数）. 处理此类问题的通法是在数形思想和函数方程思想指导下的“待定系数法”. 以“待定系数法”为指导思想去思考与切入，明确求什么，求几个量. 例1中的解法和对方程的知、造、用就充分地体现出了这个本质. 那么，对于求取值范围（最值）的题目该如何做？是否也能形成自己的稳定的解题思想呢？

■ （2010浙江）已知m>1，直线l：x－my－■=0，椭圆C：■+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.

（1）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H. 若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

反思 从以上的解法可归纳出不论题目怎么变化，取值范围（最值）等问题再怪也是函数问题，解决方法是利用代换、恒等变形等手段将多元问题整合成一元问题，进而转化为函数问题来处理.

在守规矩的前提下，我们还必须有自己的思想，这样才能有所进步. 乐于思，做事常思考，久而久之我们便有了良好的科学态度和理性精神.

在掌握了基本知识和方法的同时，我们应不满足现状，勇于打破常规，另辟蹊径.

突破一 紧紧抓住题目中的中点及斜率，能否逆向思维进行突破？尝试点差法.

反思 突破产生的根源是联想、类比、想象，核心是紧扣数形结合思想，充分发挥图形的几何特征，最大限度地发挥坐标、方程、向量等优势，能简捷有效地提高学习效益. 明确本质，敢于突破，突破的不仅是解题方法，也有难得的个性.

学习数学知识和解决数学问题与学做人相辅相成，尽管是一些小的方面的改变，如守规矩、有思想、敢突破，但同学们能就此获得很多益处. 就本文而言，同学们在实实在在地掌握了解析几何知识的同时，也为今后在数学或其他方面的大突破和深钻研打下了良好的基础.