解几试题的别样风采

解析几何历来是高中数学的难点，也是高考考查的重点. 很多同学高考时，在解析几何的部分铩羽而归，让我们不得不思考怎样才能挫败解析几何的锐气，获取胜利的果实. 为熟悉解析几何的常见题型和出题规律，本刊试题研究组精选了7道解几试题，以供同学们“厉兵秣马”．

1． 过点P（1，1）的直线，将圆形区域｛（x，y）x2+y2≤4｝分成两部分，要使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）

A． x+y-2=0 B． y-1=0

C． x-y=0 D． x+3y-4=0

2． 点P在直线l：y=x－1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且PA=AB，则称点P为“A点”，那么下列所述结论中正确的是（ ）

A． 直线l上的所有点都是“A点”

B． 直线l上仅有有限个点是“A点”

C． 直线l上的所有点都不是“A点”

D． 直线l上有无穷多个点（不是所有的点）是“A点”

3． 已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25．

（1）圆C的圆心到直线l的距离为________；

（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_______．

4． 如图1，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，…，Pn-1，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Q■，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1，△Q2P1P2，…，△Qn-1Pn-1Pn-2，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为________．

5． 设直线系M：xcosθ+（y－2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：

①M中所有直线均经过一个定点；

②存在定点P不在M中的任一条直线上；

③对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；

④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

其中真命题的代号是_______（写出所有真命题的代号）．

6． 如图2，双曲线■－■=1（a，b>0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2． 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，求：

（1）双曲线的离心率e；

（2）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值■．

7． 已知一列椭圆Cn：x2+■=1，0

（1）试证：bn≤■（n≥1）；

（2）取bn＝■，并用Sn表示△PnFnGn的面积，试证：S1Sn+1（n≥3）．

1． 要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以只需该直线与直线OP垂直即可． 易得所求直线的方程为y－1=－（x－1），即x+y－2=0． 故选A．

2． 设A（m，n），P（x，x－1），则可得B（2m－x，2n－x+1）． 因为A，B在y=x2上，所以n=m2，2n－x+1=（2m－x）2，消去n，整理得关于x的方程x2－（4m－1）x+2m2－1=0 ①．

因为Δ=（4m－1）2－4（2m2－1）=8m2－8m+5>0恒成立，所以方程①恒有实数解，应选A．