圆的方程

圆的方程内容由圆的标准方程、圆的一般方程和圆的参数方程三个部分组成，主要考查运算能力.　在客观题中，突出考查简单运算，主要以直线和圆的位置关系问题居多；解答题中以中等难度题为主，重点考查圆的几何性质的应用．

重点：熟练掌握圆的方程，掌握待定系数法，并能解决一些简单的有关圆的实际问题．要学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题．同时不断培养观察能力，寻找参数之间的联系，掌握必要的技巧，把握准确的解题方向．

难点：其一，如何把题目中的隐含条件挖掘出来；其二，数形结合的使用．

1．　基本思路：

圆的问题大多与圆心相关，在解决直线与圆的位置（相切、相离、相交）关系、圆与圆的位置关系以及利用圆的标准方程解题等都从圆心入手．

２．　基本策略：

（1）点与圆的位置关系：

设点P（x0，y0），圆C：（x－a）2+（y－b）2=r2，则点P在圆上？圳（x0－a）2+（y0－b）2=r2？圳PC=r；

点Ｐ在圆外？圳（x0－a）2+（y0－b）2>r2？圳PC>r；

点Ｐ在圆内？圳（x0－a）2+（y0－b）2

（２）（x-x1）2+（y-y1）2=r■■，圆心C1（x1，y1），半径r1；（x-x2）2+（y-y2）2=r■■，圆心C2（x2，y2），半径r2．　则C1C2>r1+r2？圳两圆相离；C1C2=r1+r2？圳两圆外切；r1－r2

求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.

思索 直线和圆相切的性质是解决有关直线和圆的问题的重要知识，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d>r等价于直线与圆相离，d=r等价于直线与圆相切，d

破解 因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.　根据点到直线的距离公式，得r=■=■.　因此，所求圆的方程是（x－1）2+（y－3）2=■.

思索 此方程表示圆的充要条件是D2+E2－4F>0.

破解 由D2+E2－4F>0，得（4m）2+（－2）2－4×5m>0，解得m<■或m>1.　故选D.

注意 二元二次方程M：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，A=C≠0，B=0是方程M表示圆的必要而不充分条件；A=C≠0，B=0，D2+E2－4F>0是方程M表示圆的充要条件．

已知圆C1：x2+y2－2mx+4y+m2－5=0，圆C2：x2+y2+2x－2my+m2－3=0，圆C1与C2相外切，则m的取值范围为________．

思索 （1）注意利用圆心距离C1C2确定两圆的位置关系.

（2）圆和圆的位置关系：（x-x1）2+（y-y1）2=r■■，圆心C1（x1，y1），半径r1；（x-x2）2+（y-y2）2=r■■，圆心C2（x2，y2），半径r2．　相离的充要条件是■>r1+r2；外切的充要条件是■=r1+r2；内切的充要条件是■=r1-r2；相交的充要条件是r1－r2<■

破解 对于圆C1，圆C2的方程，经配方后C1：（x－m）2+（y+2）2=9；C2：（x+1）2+（y－m）2=4.　因为圆C1和圆C2外切，则有■=3+2，即（m+1）2+（m+2）2=25，解得m=－5或m=2．

已知点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程．

思索 本题从确定圆的条件考虑，需要圆心和半径，圆心为线段P1P2的中点C，半径为CP，因而可从不同的角度思考．一般地，以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径两端点的圆的方程是（x－x1）（x－x2）+（y－y1）（y－y2）=0，此结论在教材课后习题出现，被称为圆的直径式方程，注意此结论的运用，可带来许多方便．

破解 （法一）设圆心C（a，b），半径为r．　由中点坐标公式，得a=■=5，b=■=6；由两点间的距离公式，得r=CP1=■=■，故所求圆的方程为（x－5）2+（y－6）2=10．

（法二）设P（x，y）是圆上不同于P1，P2的任意点，由于直径所对的圆周角是直角，则PP1⊥PP2.

①当PP1和PP2的斜率都存在时，k■·k■=-1，所以■·■=－1，则C1：x2+y2－10x－12y+51=0，即（x－5）2+（y－6）2=10.

②当PP1和PP2的斜率有一个存在时，有x=4或x=6，这时点P的坐标是（4，3）或（6，9），它们都满足（x－5）2+（y－6）2=10.

综上可得，圆的方程为（x－5）2+（y－6）2=10．

（法三）设P（x，y）是圆上任意一点，则PP12+PP22=P1P22，所以（x－4）2+（y－9）2+（x－6）2+（y－3）2=（6－4）2+（3-9）2，化简，得x2+y2－10x－12y+51=0，故圆的方程为（x－5）2+（y－6）2=10．

圆心在直线y=2x+1上，且到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2■，求此圆的方程．

思索 设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，则分析题设条件，利用弦长、弦心距和半径的关系列出关于a，b，r的方程组，解方程组得到a，b，r.注意题中的隐含条件，圆的半径r=b，把常见的隐含条件列出如下：

①圆心在圆点，条件：a=b=0；②圆过圆点，条件：a2+b2=r2；③圆心在x轴上，条件：b=0；④圆心在y轴上，条件：a=0；⑤圆心在x轴上，且过原点，条件：b=0，a=r；⑥圆心在y轴上，且过原点，条件：a=0，b=r；⑦圆与x轴相切，条件：b=r；⑧圆与y轴相切，条件：a=r；⑨圆与两坐标轴相切，条件：a=b=r.

已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，－2），且圆心C在直线l：x－y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．

思索 本题圆心为C的圆过A（1，1）和B（2，－2），由于圆心C和A，B的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线上，圆心C也在直线l：x－y+1=0上，因此圆心C是两条直线的交点，其中半径为AC或CB．　利用数形结合和圆的几何性质解答本题．

破解 因为A（1，1）和B（2，－2），所以可得线段AB的中点D的坐标为D■，－■，直线AB的斜率为kAB=■=－3，因此线段AB的垂直平分线的方程为y+■=■x－■，即x－3y－3=0.圆心C的坐标是方程组x－y+1=0，x－3y－3=0的解，解此方程组，可得x=－3，y=－2.所以圆心C的坐标是（－3，－2）．圆心为C的圆的半径长r=AC=■=5．　所以，圆心为C的圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2=25．

注意 求AB的垂直平分线的方程也可以不用求AB的中点和斜率，而是根据垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”得到（x－1）2+（y－1）2=（x－2）2+（y+2）2，化简可得AB的垂直平分线的方程为x－3y－3=0．

注意圆的方程与其他知识的联系，如与向量、直线、圆锥曲线等，提高解综合题的能力；强化基本知识的理解与记忆，形成清晰的知识结构图表，以便理清概念，使其系统化；善于及时总结，加强通性通法的练习，找到解题的突破口．