查漏补缺之圆锥曲线
2013-12-29朱斌
圆锥曲线的定义
（1）你知道椭圆、双曲线、抛物线的第一定义吗？
作答：______________________
（2）椭圆、双曲线、抛物线的第二定义你掌握了吗？
作答：______________________
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆；与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线；与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
（2）已知点F是平面上的一个定点，l是平面上不过点F的一条定直线，动点P到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e． 当0
椭圆的几何性质
（１）你知道椭圆的焦半径公式吗？焦点弦公式还记得吗？
作答：______________________
（２）如何计算椭圆的焦点三角形的面积？
作答：______________________
（３）你知道如何求解椭圆的切线方程吗？
作答：______________________
以方程■+■=1（a>b>0）为例．
（１）①设P（x0，y0），F1，F2分别为其左、右焦点，则PF1=a+ex0，PF2=a－ex0；②过点F1（－c，0）的弦AB长为AB=2a+e（xA+xB），过点F2（c，0）的弦AB长为AB=2a－e（xA+xB），其中xA，xB分别为A，B两点的横坐标．
（２）设P点是椭圆上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，则S■=b2tan■（θ为PF1，PF2的夹角）. 特别地，若PF1⊥PF2，此三角形面积为b2．
（３）过椭圆■+■=1上一点P（x0，y0）处的切线方程是■+■=1；过椭圆■+■=1外一点P（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是■+■=1．
双曲线的几何性质
（１）双曲线的焦半径公式还会用吗？
作答：______________________
（２）如何计算双曲线的焦点三角形的面积？
作答：______________________
（３）与已知双曲线有同一条渐近线的双曲线方程如何表示？
作答：______________________
（４）你知道如何求解双曲线的切线方程吗？
作答：______________________
以方程■－■=1（a>0，b>0）为例．
（１）设P（x0，y0），F1，F2分别为其左、右焦点. 当点P在双曲线的左支上时，PF1=－ex0－a，PF2=－ex0+a；当点P在双曲线的右支上时，PF1=ex0+a，PF2=ex0－a．
（２）设P点是双曲线上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，则S■=b2cot■（θ为PF1，PF2的夹角）. 特别地，若PF1⊥PF2，此三角形面积为b2．
（３）与已知双曲线■－■=1有同一条渐近线的双曲线方程可以表示为■－■=t． 其中，当t>0时，焦点在x轴上；当t<0时，焦点在y轴上．
（４）过双曲线■－■=1上一点P（x0，y0）处的切线方程是■－■=1；过双曲线■－■=1外一点P（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是■－■=1．
抛物线的几何性质
（１）与抛物线的焦点弦相关的四条性质，你还记得吗？
作答：______________________
（２）你知道如何求解抛物线的切线方程吗？
作答：______________________
以y2=2px（p>0）为例．
（１）设过焦点F的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在准线x=－■上的射影分别为A1，B1，则①y1y2= －p2，x1x2=■p2；②AF=x1+■，BF=x2+■，AB=x1+x2+p；③∠A1FB1=90°；④以AB为直径的圆与准线l相切．
（２）过抛物线y2=2px（p>0）上一点P（x0，y0）处的切线方程是y0y=p（x+x0）；过抛物线y2=2px（p>0）外一点P（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是y0y=p（x+x0）．
直线与圆锥曲线的位置关系
（1）如何判断直线与圆锥曲线的交点？
作答：______________________
（2）圆锥曲线与直线的弦长公式你还记得吗？
作答：______________________
（3）求轨迹方程的常用方法有哪些？
作答：______________________
（1）若直线斜率存在，则联立圆锥曲线方程和直线方程，消元后得到一元二次方程，可根据Δ来判断交点个数，最多只有两个交点，最少无交点，可能为0，1，2个；消元后得到一元一次方程，只有一个交点． 若斜率不存在，则可用数形结合法判断.
（2）若设直线l与圆锥曲线F（x，y）=0交于A（x1，y1）， B（x2，y2），则当直线l垂直于x轴时，弦长容易求得；当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+b，则AB=■x2-x1=■■．
（3）求轨迹方程的主要方法有定义法、代点法、点差法、参数法、设而不求法等．
