把握数学本质 破解学习困难

在进行错题分析时，笔者不禁思考：为什么学生这么难掌握乘法分配律？原因到底出在哪里？学生在学习这一内容时会遇到哪些困难？这些困难又该如何解决？乘法分配律该如何进行教学才是有效的呢？

二、原因分析

笔者通过对教材、教师和学生三个层面的调查与分析，发现了产生这些问题的一些主要原因。

1.教材层面

笔者首先翻阅了人教版四年级下册的教材，发现教材对于这部分内容在编排上具有相对集中的特点，知识趣味性不强，练习量又远远不够，不利于学生在短时间内理解和掌握，所以学生在第一次学习乘法分配律时不是很扎实。先入为主的错误学法，再加上小数、分数的存在，所以后面在学习小数乘法的简便运算和分数乘法的简便运算时，乘法分配律就成了学生的“老大难”问题。

2.教师层面

（1）重外形，缺内在。

大部分教师在教学乘法分配律时，将侧重点放在观察算式的外在形式上，淡化了内在算理的阐释，导致学生只会机械地记忆规律，不能理解规律的内涵本质。因此，学生运用乘法分配律时往往将括号外的数只乘括号内的一个数，出现如（32+48）×5=32×5+48、48×2+48=48×2+1、32×5+48×5=32+48×5等类型的错误。

（2）重灌输，缺建构。

大部分教师在教学乘法分配律时，往往受功利驱使，根本不顾学生已有的知识经验和知识的生长点，而是另起炉灶，强迫学生建“空中楼阁”——数学模型，即“硬逼”学生根据几个等式发现规律性的内容，概括出乘法分配律，时间稍长，这种暂时性的记忆必然消失。

（3）重练习，轻体验。

学生缺乏对知识的深层体验，即使运用题海战术，也很难达到熟能生巧的目的。

3.学生层面

（1）心理方面。

中、高年级学生的自尊心强，他们对于一些行为或心理问题会进行有目的的掩饰，当数学学习不好、回答问题或作业出错时，就会不懂装懂，回避困难。

（2）认知方面。

第一，感性积累少。对于加法、乘法的交换律和结合律，学生在正式学习之前就经常运用，积累了大量的感性经验，但学生在学习乘法分配律之前很少有这方面的感性积累与直接经验。尽管学生在学习笔算乘法时也曾用到过乘法分配律，但那时还处于无意识的状态。第二，内在算理混淆。乘法分配律的形式变化比较大，因为学生缺乏对乘法分配律内在算理的理解，所以乘法分配律一变式，学生就摸不着头脑了。如35×99+35、4.6×2.3+0.54×23、×55等，这些都是乘法分配律中常见的不完整结构的算式，学生由于不能深刻理解乘法分配律的算理，往往会无从下手。第三，自主体验缺失。课堂上学生只是从形式上感知了规律，未从实质上加以领悟。

三、教学对策

知惑而后解惑，方能对症下药。基于前面的原因分析，笔者认为，最终的源头还在于对数学本质的认识。所以，笔者提出了三个层次的教学策略来破解学生学习乘法分配律时的困难。

1.系统把握，注重前期渗透

前面笔者已经提到学习乘法分配律不能建空中楼阁，应该注重学生已有的知识经验，找到知识的生长点，经过同化和顺应，构建新的认知结构。那么，学生已有的知识经验、知识的生长点是什么呢？怎样构建新的认知结构呢？笔者认为学生已有的知识经验是“几个几加几个几等于几个几，几个几减几个几等于几个几”，因为在低年级学习乘法的意义后，后继教材中都有所孕伏、渗透。所以，我们在教学乘法分配律前，需要认真地研读教材的真正用意，系统地把握好教材，为学生的后继学习打好基础。

（1）充分理解乘法算式的意义。

在人教版第三册“7的乘法口诀”第79页练习题中有这样的题目：

在教学这一题时，教师不要只为计算而计算，需要最大限度地发挥练习题的多重功能。如“7×6+7”可以先让学生计算出结果，接着教师可提问：“除了这种方法，我们还可以怎样算呢？”有些学生可能会根据算式的意义“6个7连加后，再加一个7，就等于7个7，所以可以用7×7=49”来计算，这其实就是学习乘法分配律简便计算的基础。如果在计算这道题时，教师能让每个学生对乘法意义都理解到位，那到了四年级学习乘法分配律时，学生的困难就会大大减少。

（2）在具体情境中理解拆分。

人教版第六册“笔算乘法”第63页有这样一题：

在学习“两位数乘两位数笔算乘法”时，教师应引导学生关注把12拆分成“10+2”，明白24×12就是求2个24与10个24的和。学生有了把“一个数拆分成两个数相加的和”的经验积累，到了学习乘法分配律时就不会感觉那么困难了。

2.立足本质，促进意义建构

在简算教学中，教师结合教学内容，联系现实生活创设情境，能很好地让学生从数学活动中去体验，从数学与生活原型中寻求支点，有利于解决数学内容高度抽象性和小学生思维具体形象性之间的矛盾。这里的关键是创设怎样的情境和怎样利用这个情境。

（1）突出现实背景，为自主建构运算定律提供支点。

学生对计算方法的选定，更多的是依赖于生活实践中积累的真实想法与最自然化的理解。如：“天气变冷了，李阿姨到批发市场去批发衣服。看中一件上衣56元，一条裤子44元，如果她想批8套这样的衣服，一共要多少元？你可以用哪些方法解答？”面对这样的问题，学生出现56×8+44×8和（56+44）×8两种解决方法，然后教师组织学生对这两种方法进行分析比较。学生除了得出两种算法有相同的结果外，更重要的是还惊喜地发现当上衣、裤子的单价正好可以凑成整十、整百时，把它们先合起来再乘会更简便，从而得到了一种优化的解题方案。因此，教学中，教师需要创设一些情境来帮助学生真正从模仿走向理解。

（2）注重意义感悟，为自主建构运算定律打下基础。

如上述案例中，在学生得出56×8+44×8=（56+44）×8后，教师可趁热打铁地追问学生：“如果不计算，你能用以前学过的知识来解释这两种解法为什么相等吗？”接着以数形结合的思想，引导学生根据乘法意义来理解两种解法相等的算理。如：“学校扩建草坪（如右图），求扩建后的草坪面积。”在数形图的帮助下，学生明白8个56加8个44等于8个100（即56+44）的道理。在后继的练习中，教师有必要反复多样地呈现这样的情境，然后引导学生看着算式去思考，不断思考算式的本意。

（3）逐步抽象概括，为自主建构运算定律搭建模型。

如在上述教学的基础上，教师又安排了横向比较抽象、逐步符号抽象和新旧对比抽象的三次抽象活动。横向比较抽象（把例题中的“8套”改成“20套”，列成等式成立吗？为什么）脱离了具体数的抽象，从中引导学生初步总结出乘法分配律；逐步符号抽象（将“20套”改成“c套”，能列成等式吗？为什么？这里的c能表示哪些数？把“56元”改成“a元”，把“44元”改成“b元”，等式怎么变）脱离了具体情境的抽象，从中引导学生进一步感悟乘法分配律的特征，并得到乘法分配律的字母表达式；新旧对比抽象（“a+b”在这里表示一套衣服的价钱，除此之外，还能表示哪些数量？沟通旧知“速度和”“长宽和”等与新知间的联系）脱离了具体数和具体情境的抽象，从中引导学生在沟通中完善关于运算定律的认知结构，并进一步加强对乘法分配律特征的认识。乘法分配律模型的建构，在以上三次抽象的过程中自然生成了。

特别要强调的是，教师在引导学发现、总结运算定律时，不能只重视结论的得出，而忽略探究的过程。教师要给学生留出自主探索的时空，让学生运用已有经验，在合作与交流中，把对乘法分配律的认识由感性逐步发展到理性，合理地建构知识。学生只有经过自己的观察、验证后，才会对乘法分配律有实实在在的体验和理解。关于学生对乘法分配律的口头表述，教师不要提过高的要求，学生只要能抓住要领，基本讲清楚就可以了。

3.后期延伸，提高简算意识

学习乘法分配律的最终落脚点不在于对内涵本质的理解，在于运用乘法分配律进行简便运算，而简便计算教学的落脚点又在于使学生形成自觉计算的意识和能力。

（1）理解为本，强化对比性。

运用乘法分配律进行简便计算要重在“悟”，不能“灌”。面对灵活多样的变式题，教师不能让学生去生搬硬套公式，需要引导学生寻找它的意义本源，寻找这些特例与运算定律之间的内在联系，然后构建新的认知结构。例如，简算32×101与32×99时，可以引导学生进行对比：32×101表示101个32是多少，可以先算100个32是3200，再加上1个32，合起来就是3232；32×99表示99个32是多少，可以先算100个32是3200，再减去1个32，得到3168。这样既进行了算式意义上的区分，又在内涵上沟通了原式与乘法分配律间的内在联系。