小学数学学优生与学困生运算能力差异的调查与分析

运算能力是指根据一定的数学概念、法则和定理，结合运算技能和思维能力使某些运算顺利完成的个性特征。目前国内外对运算能力的研究较多，比较有代表性的观点是“小学生的数学运算能力与小学生的算理知识、算法技能以及思维品质的个性特征有关”。较多相关研究主要从运算能力的某个方面入手，本文试图通过访谈与测试相结合的方式，分析比较小学数学学优生与学困生在算理、算法、思维品质方面的差异；同时以美国教育心理学家加涅的学习分类理论为依据，在借鉴新西兰小学生运算能力发展研究项目（NDP）的基础上，进一步分析学优生与学困生在运算能力结构方面的差异，希望能为小学数学教学提供一些参考。

一、研究方法

1.被试对象的选择

被试对象从广西南宁市非示范性小学四年级的三个平行班级学生进行选择。根据2012年1月数学期考成绩，并结合数学科任教师意见，确定选取30名学优生、30名学困生进行访谈及测试。

2.调查工具

本研究依据《〈全日制义务教育数学课程标准〉（修改稿）》及现行小学数学教材，自编运算能力测试题一套。测试题分为口算及笔算两部分，施测时口算部分命名为《小学四年级数学运算能力测试卷（口算部分）》，内容包括百以内的加减，表内乘除，一位数乘除两位数的口算题，两位数乘除三位数的估算题。共20个小题，总分20分，限时10分钟。笔算部分命名为《小学四年级数学运算能力测试卷（笔算部分）》，内容包括：列竖式计算三位数乘（除）以两位数、三位数的加减，四则同级运算及混合运算题；包含两位数以内四则运算的填空题和找规律填数题。共四大题，总分80分，限时30分钟。测试数据使用SPSS17.0进行统计分析。经前测修订并实施测验，统计得出试卷的难度系数为0.709，信度系数0.89；试题平均区分度为0.415，即试卷难度适中，信度、区分度较高。

二、结果分析

1.算理知识的比较

学生的算理知识掌握情况按数的意识、概念原理、位值关系、基本事实记忆四个维度进行分析。结合测试及访谈调查，按照不同类别的平均分进行差异比较，结果如表1所示：

由表1知，在算理知识方面，学优生显著优于学困生。在数的意识、概念原理、位值关系方面学优生与学困生的差异很大，达到统计学意义上的显著性程度，在基本事实记忆方面有一定差异，但差异未达到统计学意义上的显著水平。

2. 算法技能的比较

算法技能差异以区分辨别、选择应用、规则和高级规则四个亚类对学生进行差异分析。我们采用统计学软件SPSS17.0进行两个独立样本的T检验，结果如表2所示：

由表2知，在算法技能方面学优生显著优于学困生。学优生与学困生在区分辨别、选择应用、高级规则运算方面差异达到统计学意义上的极其显著的水平，在规则运算方面差异达到统计学意义上的显著水平。

3.思维品质的比较

在小学生数学运算中，突出的思维品质是敏捷性、灵活性等方面。本研究主要做了学优生与学困生思维敏捷性的差异性检验。先计算出规定时间内学生运算的平均分，再进行两个独立样本均值差异的显著性检验（T检验），结果如表3所示：

4.典型试题分析

为了更清晰地了解学生在运算中出现的问题，我们选择部分典型试题进一步分析。

【例1】 口算题：107+3×0。

本题学优生组正确率为100%，学困生组正确率仅为15%。设计访谈问题为：这道题为什么这么做？部分计算错误的学生说：“因为0乘任何数为0，所以答案为0。”说明这部分学生并没有很好地理解“0乘任何数为0”的概念原理，不明确这一原理应用的前提条件。可见学困生在算理知识方面认知不清晰。另外，学生先算了加法再算乘法，分析其错误的原因也与四则运算顺序混乱有关。

【例2】 计算题：46+130÷10-10=46+130÷0。

本题有学生在计算过程中出现了“0”为被除数，得到130÷0=0的错误结果。学困生组出现此类错误的达到64.3%。受访学生讲述“好像有任何数除以0得0这个定理吧”，由此可见学生对一些基本算理识记不清。另外，部分受访学生可以正确讲述四则混合运算的运算顺序规则，说明学生是知道这一算理知识的，但是当中仍有不少学生说“看到10-10就想到可以得0，算题就可以简化”，可见学困生在遇到高级规则类型运算时，难以正确地选择和应用恰当的算法。

【例3】 口算题：（1）（61-34）÷3；（2）56+56+56。

在对学生思维敏捷性的考查方面，题目设置了具有联系的两道题： 27÷3=9和（61-34）÷3=27÷3=9。多数学困生未能注意到这两题间的联系，没能快速利用“27÷3=9”的结果得出“（61-34）÷3”的答案。在口算题“56+56+56”的计算中，多数计算错误的学生表示仍然是从左至右依次计算，而学优生组大部分都能转化为”56×3“进行运算。从测试情况看，学困生不仅计算速度慢，并且正确率不高。分析认为学优生与学困生在思维敏捷性、灵活性等思维品质方面差异较大。

三、讨论

算理属于知识层面，是运算能力的基础，主要说明“为什么这么算”的问题。学优生与学困生在算理知识方面有差异，主要体现在数的意识、概念原理、位值关系、基本事实记忆四个方面。例如学生在计算中常出现没使用0进行补位或占位，计算结果出现漏0和多个0等错误，说明学生没有真正理解“0”在不同情境中所代表的数量关系和含义。可见学困生头脑中没有建立起良好的数感，数的意识有所欠缺。有研究表示原因可能与元认知能力低下、缺乏自我核查能力有关。其次，对数学运算相关概念原理的内涵和外延认识不清晰，概念认识仅仅浮于表面，一旦改变运算情境，容易造成认知冲突，即在认知过程中当原有的概念或认知与现实情境不相符时在心理上产生了矛盾冲突，此时出现了概念运用混乱等问题。另外，学困生对位值关系的理解掌握欠佳，缺乏计算步骤的组织排序能力；同时对一些基本公式、表内乘除法、20以内的加减法等基础知识记忆不牢固也影响了运算的顺利进行。

算法属于技能层面，主要回答“怎么算”的问题。从调查情况看，学优生相较于学困生能更好地进行区分辨别、选择应用，并能更好地掌握规则运算与高级规则运算。本研究将二位数以内（含二位数）一步运算划分为规则运算类型，三位数以上（含三位数）二步以上（含二步）同级或混合运算划分为高级规则运算类型。测试结果显示学困生在高级规则运算的运算顺序，例如多次进位、退位、借位计算时出错较多。分析认为，高级规则运算需要更多的认知策略参与计算加工过程。加涅认为认知策略是一种自我控制过程，是选择和调整注意、记忆和思维等的内部过程。学困生注意力的稳定程度和分配能力水平较低，并且容易受到工作记忆维持时间较短的影响，多次进位、退位的数值难以在学生头脑中长时间保持，此时思维过程受阻碍，容易造成计算错误。此外，学困生容易受到知识的负迁移影响，当学生看到熟悉的数字和运算时，容易忽视运算对象的整体特征，没有区分辨别就随意运用已知的算法计算。而学优生知识结构较为完善，能够在各种情境中对算题进行整体分析，因而无论是规则还是高级规则，他们都能够选择并应用恰当的方法和策略进行运算。

运算的过程也是思维的过程，思维属于能力层面，是运算能力的核心部分。小学阶段运算能力的要求是“算得正确、迅速；计算方法合理、灵活”。在数学运算中，思维敏捷性主要是指学生快速并准确运算的能力，因此思维敏捷性这一思维品质在小学数学运算中显得尤为重要。学优生与学困生计算策略的使用有所不同，学困生常使用数手指、口头数数的策略，减慢了运算速度；学优生熟悉算理、算法，能够直接使用提取策略进行运算，实现了计算的敏捷快速。在考察小学生思维的灵活性方面，测试题目提出“能简便运算的要简便运算”，然而学困生算理知识贫乏，算法技能不熟练，难以选择优化的运算途径，计算灵活性更无从谈起。学优生具备了较好的思维敏捷性、灵活性等思维品质特征，他们更善于观察事物间的联系，能够快速寻找正确或较佳途径解决计算问题。

四、结论和建议

1.结论

学优生的算理知识、算法技能、思维品质显著优于学困生。

在算理知识方面，学优生和学困生主要在数的意识、概念原理、位值关系、基本事实记忆方面表现出不同的差异，其中在数的意识、概念原理、位值关系方面差异性达到了统计学里的显著水平。

在算法技能方面，学优生和学困生在区分辨别、选择应用、规则和高级规则方面表现出了显著差异。

在思维品质方面，学优生的思维敏捷性显著优于学困生。

2.建议

对学生来说，探索的过程要比探索所得的结果更为重要。在探索的过程中思维的灵活性、流畅性随之发展，学生觉得学习是一种乐趣、是一种满足，继而引发学习的兴趣和求知欲。教学中应把巧设生活情境、引导学生探究新知与算理教学结合起来。恰到好处的探索教学不仅可以让学生感悟到数与运算的价值和现实意义，引发数学的思考，同时也有利于加深学生对相关概念原理的理解。

在算法技能方面，应注意进行数和运算的对比辨析训练，训练要由浅入深。如位数增加的运算训练、同级运算与混合运算的比较训练等。同时，针对学生错误较多的算题进行正误辨析，加强学生的区分辨别和策略应用能力，训练提高运算的准确性。

要进一步提高运算能力，重点在于培养和提高学生的思维能力。小学四年级学生的思维已经开始由具体形象思维过渡到抽象思维，这一阶段的思维能力培养对其今后的数学能力发展有着重要影响。因而教学中应注重积极发展学生的思维品质，培养学生合理选择简捷运算途径的意识和习惯，鼓励学生对一道题进行多角度、多方位的探索，促进学生运算能力的提高。

（责编 金 铃）