大中型工程项目群柔性进度计划优化模型的研究

丰景春 张 飞

（1.河海大学商学院，南京 210098；2.河海大学项目管理信息化研究所，南京 210098）

大中型工程项目群具有影响因素多、工期长等特征.政治、经济、社会、环境等影响因素使得项目群预计收益出现偏差.对于业主而言，为获得更高的项目群收益且实现工程项目多目标控制，愿意制定奖励措施［1］；对于承包商而言，为获得业主提供的提前完工收益奖励、降低间接成本，从其利益出发期望项目工期压缩［2］.由此可见，项目群工期的优化符合业主和承包商双方的利益.传统的项目群进度优化存在两个方面的问题：一是没有考虑项目群中各项目之间的影响及里程碑项目的影响；二是项目工期为确定性.事实上，项目工期受资金供应、施工工艺与技术方案、材料供应、机械设备的性能、劳动力因素、自然环境与社会环境等诸多方面影响，从而使得项目的工期具有不确定性，且其分布符合一定的规律［3］.

目前，国内外学者对大中型工程项目群柔性进度优化的相关研究集中在2个方面：一是项目群工期的研究.许多学者在CPM 的基础上引入模糊参数，构造了改进后的CPM 方法.王亚平［4］提出了模糊弧长的概念，采用模糊数来表达，定义了相关的模糊可能期、模糊限制期、模糊浮动期和模糊总边界，构造了有向模糊网络图，胡志根提出用模糊三角数.杨应玖［5］提出用灰量（灰数）表达作业活动时间，构成了灰色网络计划图.赵克勤［6］采用集对分析方法，用联系数a＋bi＋cj，对工期展开了研究.二是项目群资源－工期优化的研究.苏菊宁等［7］研究了固定资源约束视角下资金时间价值的工期优化，建立了具有柔性资源约束的基于工期奖惩机制的工期协调优化模型.柴国荣等认为资源租金水平对奖惩结构的优化度产生影响.现有的研究成果表明，大型工程项目群工期优化朝着项目群柔性工期估算和项目群工期优化两个极端发展，没有将柔性工期和工期优化两者有机地结合.为此，本文在分析项目工期分布规律的基础上，以业主收益最大化为原则开展研究，构建大中型项目群柔性进度计划优化模型，并结合具体案例对模型进行应用研究.

2 基于随机过程的项目群进度计划优化原理

2.1 项目群柔性进度分析

2.1.1 柔性工期

在正常情况下，在一定时间内完成项目的概率为完工概率Pf，Pf的计算公式如下：

式中，Pf为工期为t＊时所对应的完工概率；t＊为完工时间；其他符号的含义见式（1）.

式（3）表明，t′服从标准正态分布.当Pf已知时，根据标准正态分布表，查出λ值，求解t＊值，见下式：

式中，t＊、σ、Pf的含义见式（1）、（2）.

2.1.2 项目群柔性工期

项目群由多个合同项目组成，每个合同项目相互独立且具有明确的逻辑关系，它们分别由不同的承包商承担.为了便于研究，假设某大中型工程项目群有A、B、C、D、E、F、G 等7个合同项目，如图1所示.

图1 某项目群的进度计划

项目群工期取决于合同项目柔性工期以及合同项目之间的逻辑关系，其中，合同项目柔性工期由项目群期望工期和工期的标准差组成，不同路径的项目群期望工期和标准差存在差异.图1的项目群关键路径为A→B→C→D 和A→E→F→G→D.通过对正态分布下独立事件之间的期望和标准差进行计算，可得项目群工期期望及标准差为

当合同项目同时签订时，合同项目的工期为已知值，据此确定项目群合同工期的关键路线，根据式（5）或（6），可以求得项目群柔性工期.

2.2 项目柔性工期进度优化分析

从业主角度，假设在工期优化前所有合同项目的合同均已签订，则合同项目工期有一定的缩减空间，即承包商通过努力可以缩短合同项目的工期，且承包商在不损害自身利益时，愿意进行工期缩减.承包商根据业主的工期提前奖励措施，从其自身利益出发，通过调整进度，达到提前工期的目的.

为了保证项目按期完成或尽早完成，业主一般会制定奖励措施.假设业主缩减工期的奖励函数为F（t），承包商付出的成本函数为C（t），承包商的收益函数为G（t），则有：

式中，G（t）为承包商的收益函数；F（t）为业主缩减工期的奖励函数；C（t）为承包商付出的成本函数.

承包商工期优化的目标是实现自身利益的最大化，因此，在工期优化时，应满足以下条件：

2.3 项目群视角下的柔性进度优化

项目群优化不能只考虑单个合同项目的优化收益，还应考虑整个项目群的优化收益.在分析单个合同项目工期提前对项目群工期提前的影响时，项目群优化应考虑以下4个方面：

1）关键路径上合同项目优先优化.在不考虑合同项目提前发挥效益的前提下，业主只有在项目群整体工期提前时才能获得收益，此时，项目群进度优化应考虑项目群整体工期的提前.根据合同项目工期对项目群工期的影响，合同项目分为关键路径项目和非关键路径项目，其中，关键路径合同项目工期的缩减必然促使项目群工期的缩减（非关键路径没有转化为关键路径）；非关键路径合同项目工期的缩减不会带来项目群整体工期的缩减.由此可见，项目群优化应选择关键路径上的合同项目.

2）里程碑项目的影响.里程碑项目是指那些对施工环境具有特殊要求且只能在某个时间段进行的项目.以水电站施工为例，截流应选在枯水期，其工期提前量受到一定的限制，因此，截流之前的合同项目优化不一定能带来项目群工期的整体提前.

3）优化成本.优化成本是指因合同项目提前单位时间，业主需要付出的成本.业主综合考虑自身收益，有优化成本限额.优化过程中优化成本在低于该限额时业主期望获得工期的最大提前.

4）项目群中合同项目工期具有一定柔性，使得项目群完工日期也具有一定柔性.进度优化不仅要考虑合同项目的完工保证率，还应考虑项目群的完工保证率.

3 模型构建

3.1 假设条件

1）假设项目群所有合同项目同时招标并签订合同.

2）假设业主项目群工期提前收益与提前天数符合线性关系，业主决策最小完工保证率可以量化.

（5）随着不断巡检数据的增加，能够具备自动更新设备历史状态信息库，更新状态模型，动态、灵活地调整和控制设备运行状态，使系统状态往有利方向发展。

3）假设在业主不进行工期激励时，各承包商均能按照合同工期完工，即工期既不提前也不延后，优化后工期不会因为后续项目的延误而失效.

4）假设业主提供的奖励限额已知，且开工提前及工期压缩导致承包商成本增加量可获得.

5）当关键路径工期提前时间大于非关键路径上所有合同项目的总时差时，原关键路径将转化为非关键路径，优化问题将变得更为复杂.假设在合同项目工期优化后，非关键路径工期仍小于或等于关键路径工期，即关键路径可以提前的最大工期为非关键路径上的最小总时差.

3.2 项目群柔性进度优化模型

3.2.1 承包商收支模型

项目群进度优化的干系人为业主和承包商.业主为工期提前进行的奖励方式有所不同，一般采取奖励系数x 提前天数的奖励方式.该方式简单易行，本文假设业主奖励与项目群提前工期满足线性关系

式中，K 为业主奖励系数应小于等于业主收益；t0为合同工期；t为优化后合同项目的工期，其他符号的含义见式（7）.

承包商的总成本C 由直接成本C1（包括人工费、材料费、施工机械费等）、间接成本C2（包括现场管理费、业务费、保险费、贷款利息等）和工期压缩成本C3组成［9］.其中，直接成本与项目投资有关，直接成本总额与工期压缩无关，为一个常数，则直接费用的变化表示为

式中，ΔC2为直接费用的变化.

间接成本与项目工期呈正向线性比例关系，假设单位工期的间接费率为g，则间接费用可表示为

式中，ΔC2为间接费用的变化；g 为单位工期的间接费率；t，t0含义同式（10）.

合同项目工期的压缩成本ΔC3是将合同项目工期压缩到一定的值，在正常费用之外多花费的直接费用.项目工期压缩成本是项目工期的分段线性凸函数，可以利用指数函数C（T）＝M·e－λT（M 为项目工期成本系数，λ为常数，且M＞0，λ＞0）近似描述这一关系［10］.M 和λ 值可以根据同类项目历史统计数据，通过回归分析方法计算得到.工期压缩成本为

式中，ΔC3（t）为工期压缩成本与工期函数；M 为工期成本系数；λ为常数；t，t0含义同式（9）.

则承包商付出的成本可表达为

式中符号含义同式（10）～（13）.

3.2.2 进度优化模型

大中型工程项目群柔性工期优化模型为

式（16）表明，业主收益及奖励与工期优化量呈线性关系，且奖励系数小于收益系数，因此，最大优化量必然能带来业主受益最大，即工期优化目标为优化后工期最小；式（17）表明承包商的边际收入应大于边际成本；式（18）、（19）表明业主对完工保证率或对风险的偏向程度；式（20）表明对工期缩减有限制合同项目之前的合同项目工期优化量.

4 案例分析

4.1 案例简介

某工程项目群由14个合同项目组成，分别为A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N，其中，合同项目D为里程碑项目，其完工日期提前量不得大于30d，其网络进度计划见图2.假设14个合同项目同时招标，且已签订合同.通过参考该类工程历史数据，业主可得工程成本系数M 与λ 值以及直接成本和间接成本，见表1.项目群提前业主的收益为2万元／天，且所有合同项目及项目群的完工保证率不低于70%.

图2 某工程项目群网络计划图

表1 某工程项目群基本参数

4.2 项目群柔性工期优化分析

根据项目群中合同项目的合同工期，本项目群的关键路径为A→B→D→G→H→I，项目群合同工期为1 573d，期望工期为1 303d，标准差为99.3.次级关键路线为A→B→D→J→K，项目群合同工期为1 285 d.根据合同项目及项目群的完工保证率应不低于70%，优化后的项目群最小工期Tmin：

可见，工期优化后不会导致关键路线的变化.在不考虑里程碑项目影响时，对项目群工期进行优化.A、B、D、G、H、I合同项目应满足式（17）、（18），式中i为A、B、D、G、H、I，计算结果见表2.

表2 某工程项目群工期优化（不考虑里程碑项目）

D 合同项目为里程碑项目，根据式（20）可得：

D 合同项目优化后的工期：tA＝489d，对应的奖励系数K＝1.98万元／d；tB＝469d，对应的奖励系数K＝1.92万元／d；tD＝80d，对应的奖励系数K＝1.31万元／d.

优化后的项目群总工期：T＝489＋469＋80＋79＋292＋76＝1 485＞Tmin，满足式（19）.

4.3 对比分析

4.3.1 优化结果分析

项目群柔性工期优化与传统工期优化的结果对比情况见表3.

表3 项目群工期优化结果对比

1）传统工期优化方法仅考虑了承包商和业主的收益情况，对项目完工保证率缺乏关注.对于完工保证率较低的合同项目，激励将面临较大的风险，同时这种合同项目的激励难以获得期望的效果.当采用传统的工期优化方法时，D、G、I合同项目完工保证率仅为15.90%，44.30%，49.80%，而采用本文的进度优化模型，D、G、I合同项目完工保证率可以提高到70.00%，70.00%，70.20%，满足业主激励风险的控制.

2）当采用传统工期优化方法时，业主关注各合同项目的工期提前，一旦存在里程碑项目，使得里程碑项目之前的合同项目的优化成果丧失.D 为里程碑合同项目，它只能提前30d，采取传统方法计算提前工期为65d，不难看出之前项目提前的35d是无效的.

4.3.2 模型优点分析

1）本模型可以较好地体现项目群柔性工期优化的特点，兼顾了项目进度优化和柔性工期，选取承包商边际收益为零作为优化的临界点，反映承包商追求利益最大化的特点.

2）本模型考虑了里程碑项目的影响，解除或在一定程度上减轻里程碑项目工期的限制引起工期优化成果被限制的风险.

3）合同项目进度优化量受最小完工保证率的影响，最小完工保证率体现了业主的风险偏好.当业主风险偏好较大（最小完工保证率较低）时，可以进一步缩短项目群工期，体现了风险收益.

5 结 论

1）业主是项目群工期优化的发起者，也是工期优化的动力.根据自身收益情况及激励成本，业主通过采取适当的激励措施，促进承包商对工期进行优化；承包商考虑可能获得的奖金、间接费用的节省及压缩工期的成本等，采取相应的措施缩减项目工期，实现业主和承包商的双赢.

2）项目群工期优化应综合考虑工期优化的收益和相应的风险.业主应考虑因采取奖励措施所带来的工期优化量及优化后合同项目与项目群工期的完工保证率，保证优化后工期具有一定的完工保证率，有效地控制不能按时完工的风险.

3）里程碑项目对其之前的合同项目的工期优化量产生限制，为此，在对里程碑项目之前的合同项目进行工期优化时，应充分考虑里程碑项目对工期优化的限制.

4）案例分析表明，项目群柔性工期优化应综合考虑工期柔性和项目群中合同项目之间逻辑关系的影响，忽略项目工期柔性可能使工期优化面临较大的风险.案例中的D 项目完工保证率仅为15.9%；忽略里程碑项目的影响可能导致奖励措施的成效不明显，如案例中的D 项目之前35d优化量是无效的.

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