基于四元数表示的彩色图像泊松噪声去噪

陈北京 戴 慧 刘全升 舒华忠

(1南京信息工程大学计算机与软件学院,南京 210044)(2南京信息工程大学江苏省网络监控工程中心,南京 210044)(3南京工程学院计算机工程学院,南京 210013)(4南布列塔尼大学应用数学实验室,法国瓦纳 56017)(5东南大学影像科学与技术实验室,南京 210096)

数字图像在获取、数字化和传输过程中易受到各种噪声的干扰．为了提高图像质量,在图像应用系统中对图像进行去噪处理是不可缺少的环节[1-3]．目前已有很多针对灰度图像的工作,但彩色图像去噪受到的关注相对较少．对于彩色图像去噪,主要有2类方法:基于分量独立处理的方法和基于向量的方法．第1类方法采用针对灰度图像的算法处理彩色图像的每个分量,再对各个分量的处理结果进行整合;该类方法的不足是没考虑到3个分量的整体性以及它们之间的相关性[1-4]．第2类方法则将每个像素作为一个三维向量进行整体处理．彩色图像具有向量特性和3个分量之间的强频谱相关性[2],第2类方法较容易平滑边缘和细节[2-3]．

四元数[5]是传统复数的推广,1个四元数包含1个实部和3个虚部．上世纪90年代,国内外部分学者开始将四元数的相关理论引入到彩色图像处理中[2-4,6-11]．将彩色图像的每个像素值采用1个纯四元数来表示,3个分量作为其3个虚部．彩色图像四元数表示方法的主要优势在于,在多维空间上将彩色图像像素作为一个矢量进行整体处理,而非3个分量分别处理,而且考虑了色彩关联．该方法已经成功应用于彩色图像去噪[2-4,6-8]、分割[9]、模式识别[10]和水印[11]等领域．

目前,一些四元数滤波器相继被提出并应用于彩色图像去噪,如四元数加权向量中值滤波器[2]、四元数开关向量中值滤波器[6]、四元数开关滤波器[3]、四元数Gabor滤波器[4]、四元数奇异值分解滤波器[7]、四元数理想低通滤波器[8]、四元数Butterworth低通滤波器[8]以及四元数高斯低通滤波器[8]．前3种滤波器主要针对脉冲噪声,后5种则是通用型滤波器．据查,目前还没有特别针对泊松噪声的四元数滤波器．泊松噪声在光量子计算成像系统(如CCD固态光电检测器阵列、天文成像和计算X射线成像CR等)中很常见[12]．

近些年,Buades等[13-14]提出的非局部均值滤波器(non-local means filter,NLMF)因其突出的表现和直观简单的理论基础受到越来越多的关注．NLMF的基本思想是,利用2个图像宏块的相似性,计算自适应均值滤波权值,并进行加权平均处理．最近,Jin等[15-16]针对泊松噪声提出了最优权值NLMF(optimal weights NLMF,OWNLMF),对比实验结果表明,该滤波器优于现有的多种滤波器．

本文基于彩色图像四元数表示方法和四元数代数理论,提出四元数OWNLMF(quaternion OWNLMF,QOWNLMF)，并将其推广应用于彩色图像泊松噪声去噪中．

1 四元数及四元数彩色图像表示方法

一个四元数q可以表示为

q=a+bi+cj+dk

(1)

式中,a,b,c,d∈R;i,j,k为虚数单位,且满足如下运算法则:

i2=j2=k2=-1, ij=-ji=k

jk=-kj=i, ki=-ik=j

(2)

q的共轭四元数及模定义为

(3)

(4)

以RGB颜色空间为例,N×N的彩色图像f(x)(x∈Ω，Ω为二维坐标集合)可以表示为

f(x)=fR(x)i+fG(x)j+fB(x)k

(5)

式中,fR(x),fG(x)和fB(x)分别为彩色图像的红、绿、蓝通道．

2 最优权值非局部均值滤波器

非齐次泊松过程模型[12]已被有效应用于图像泊松噪声去噪工作中．基于该模型,可将观测到的泊松噪声图像g(y)表示为

g(y)=f(y)+ε(y)y∈Ω

(6)

式中,ε(y)表示均值为0、方差为f(y)的误差项．因此,泊松噪声去噪就是在噪声图像g(y)中恢复原始图像f(y)．

OWNLMF的基本思想是通过对获取图像g(y)加权平均来估计未知图像f(x),即

(7)

(8)

(9)

(10)

d(gy,η,gx,η)=

(11)

式中

Δ=(Δ1,Δ2)

(12)

采用拉格朗日乘数法可得定理1.

(13)

因此,最优权值非局部均值滤波器OWNLMF的定义如下:

(14)

3 四元数最优权值非局部均值滤波器

将OWNLMF应用于彩色泊松噪声图像去噪,最直接的方法是采用基于分量独立处理的方法,但这样处理没有考虑到彩色图像中3个分量的整体性以及它们之间的联系．因此,基于彩色图像四元数表示法和四元数代数理论,本文利用QOWNLMF进行彩色图像去噪．

(15)

由于误差项ε(y)是均值为0、方差为f(y)的独立同分布变量,故式(15)可记为

(16)

对于式(16)等式右边的第2项,有

εB(y)k)(-εR(z)i-εG(z)j-εB(z)k))=

(17)

式中,εR(y),εG(y)，εB(y)分别为ε(y)的红、绿、蓝3个分量;fR(y),fG(y)，fB(y)分别为f(y) 的红、绿、蓝3个分量．式(17)中倒数第2个等式利用了数学期望的线性特性以及ε(y)和ε(z)的独立同分布形状.如果y≠z,则E(εα(y)εβ(z))=0,α,β∈{R,G,B}.

将式(17)代入式(16)可得

(18)

(19)

4 实验结果

实验1 采用标准的384×288像素的Barbara图像,并在该图像上添加泊松噪声(见图1),采用QOWNLMF对该噪声图像进行去噪处理．在不同尺寸的搜索窗和相似性窗下,重建图像和原图之间的峰值信噪比(PSNR)见图2．由图2可知,存在一个最优的搜索窗和相似性窗尺寸对,本实验中此搜索窗尺寸为19×19像素,相似性窗为7×7像素．当搜索窗尺寸为3×3像素时,PSNR值相对较小,表明在此搜索窗中需要一定量的像素．不管是搜索窗还是相似性窗,PSNR都随着窗口尺寸的增大先急速增大,达到最大值后缓慢减小．相对而言,搜索窗尺寸的变化对去噪结果影响更明显,这主要是因为搜索窗内的像素为去噪后的图像贡献其像素值,而相似性窗则只是决定搜索窗内像素的加权系数,相比相似性窗,搜索窗对最终的像素值贡献更大．

图1 原始Barbara图像及其泊松噪声污染图像

图2 不同尺寸窗口下QOWNLMF 的去噪结果

将QOWNLMF与基于向量方法的NLMF(VNLMF)[14]和基于独立分量处理方法的OWNLMF(COWNLMF)[15-16]进行对比．利用这些滤波器对图1(b)进行去噪,计算去噪结果与原图之间的PSNR,并计算QOWNLMF与VNLMF的PSNR值之差PSNRQV以及QOWNLMF与COWNLMF的PSNR值之差PSNRQC,结果分别见图3(a)和图3(b)．由图可知,QOWNLMF明显优于另外2种滤波器,PSNR最大差值为搜索窗与相似性窗均为3×3像素时QOWNLMF和VNLMF之间的差值2.429 8.COWNLMF优于VNLMF,这与文献[15-16]中的结论一致．图4展示了不同滤波器采用各自最优搜索窗尺寸S1与相似性窗尺寸S2时的去噪图像及其差值图像．其中,对于VNLMF,S1=9×9像素,S2=5×5像素;对于COWNLMF,S1=13×13像素,S2=15×15像素;对于QOWNLMF,的S1=19×19像素,S2=7×7像素．为了更好地展示差值图像,将差值放大3倍．由图4可知,QOWNLMF和COWNLMF相对于VNLMF保留了更多的纹理细节,特别是在座椅区域．尽管从肉眼上初看QOWNLMF和COWNLMF效果相当,但细看还是能发现差异,特别是所选区域的左下角部分．由此可知,QOWNLMF无论从PSNR数值方面还是视觉效果方面都优于其他2种滤波器．

实验2 对5幅常见图像以及1幅实景拍摄图像添加泊松噪声(见图5)．将VNLMF,COWNLMF,QOWNLMF以及基于四元数奇异值分解的滤波器QSVDF[7]和四元数高斯低通滤波器QGLPF[8]进行对比．这5种滤波器在各自最优搜索窗和相似性窗下对图5的去噪结果见表1．

图3 不同窗口尺寸下2种滤波器的PSNR值之差

图4 最优搜索窗和相似性窗尺寸下不同滤波器对图1(b)的去噪结果

图5 6幅泊松噪声污染图像

图6～图9分别显示了图5(a)和(b)的去噪图像及其差值图像(差值放大3倍)．由图可知,由于QOWNLMF和COWNLMF分别采用了使QMSE和MSE最小的最优权值,不管是PSNR值还是视觉效果上都明显优于其余3种滤波器,再次验证了其有效性．就PSNR而言,QOWNLMF的去噪效果明显优于COWNLMF,其最大PSNR差值为对图5(b)去噪时的结果1.270 1,最小差值为对图5(d)去噪时的结果0.378 4;就视觉方面而言,这2种滤波器的效果相当,QOWNLMF对边缘细节保护相对更佳,图7(e)在一些边缘丰富的区域(如鼻梁、帽檐和嘴巴区域)优于图7(d),图9(e)在冠顶部位优于图9(d)．效果最差的是QSVDF,原因在于QSVDF基于一个先验假设:小奇异值所对应的特征图像为噪声．事实上这一假设是不正确的,因为在无噪声污染的图像中也存在小奇异值．

图6 最优窗口尺寸下各滤波器对图5(a)的去噪结果

图7 图6中去噪图像与原图像之间的差值图像

图8 最优窗口尺寸下各滤波器对图5(b)的去噪结果

图9 图8中去噪图像与原图像之间的差值图像

表1 不同滤波器的PSNR值

5 结语

本文提出一种处理彩色图像泊松噪声的四元数最优权值非局部均值滤波器．该滤波器基于彩色图像四元数表示法以及非局部均值滤波器NLMF的基本思想,获取使重建图像和原始图像之间的四元数均方误差紧上界最小的权值,从而构造加权平均滤波器．彩色图像四元数表示法将一幅彩色图像视为一个整体进行处理,并且考虑了色彩之间的关联性．实验结果表明,与现有的滤波器相比,QOWNLMF的性能更优．

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