Walsh-Hadamard变换的含噪语音信号自适应滤波

孙 明,吴镇扬

(1.佛山科学技术学院 电子信息工程系,广东 佛山 528000;2.东南大学 信息科学与工程学院 ,江苏 南京 210096)

在语音信号处理中,噪声的滤除是一个非常重要的步骤。由于噪声在频域为一宽带信号,频谱分布较广,常规的滤波器无法将其滤除。数字信号处理技术在滤波器设计、系统识别、语音预测等方面起着重要的作用,而传统固定的滤波器设计不能快速、准确地解决问题,无法满足需求。在这种情况下,自适应滤波器(Adaptive Filter)由于能够得到比较好的滤波性能,因此被越来越广泛地使用。自适应滤波器一般使用最小均方差算法(Least Mean Square Error,LMS),该方法简单、计算量小、易于实现且稳定,成为最常用的方法之一,惟一的缺点是收敛速度太慢,对于时变系统(Time-Varying System)所造成的环境噪声没有很好的表现[1]。

传统的线性 LMS算法是最基本的也是最容易实现的算法,如果要想得到更好的性能,必须对 LMS算法进行改进,域变换是一条有效的改进途径。

目前,正交变换在语音和图像处理中得到了广泛的应用[2-3]。

域变换的基本思想是:通过正交变换以降低其自相关程度,在变换域递归地估计各个采样点的功率,并对自适应滤波器的各个权系数均采用归一化的收敛因子,从而使各个权系数都能获得最佳的收敛速度[4]。

本文首先讨论了时域 LMS算法及其收敛性能,然后对比分析了 LM S在Walsh变换域自适应滤波的性能和特点,最后通过仿真得出 LMS在不同变换域收敛性能的优劣,并由此提出了未来自适应滤波器发展的新方向。

1 变换域 LMS自适应滤波

变换域自适应滤波器是为了加快可适性滤波算法的收敛速度而提出来的一种方法[5]。简单地说,变换域自适应滤波器(TDAF)是一种变换系统,其结构如图1所示。在将输入信号送入自适性滤波处理之前,先用一个变换矩阵将其转换到另一个数学域来处理。通常是利用正交变换,如离散傅里叶变换(DFT)、离散余弦变换(DCT)、Walsh-Hadamard变换(WHT)、Hartly变换等进行变换,再应用自适应滤波算法进行处理,如 LM S自适应滤波器。

1.1 LMS自适应滤波算法

自适应滤波器能够得到比较好的滤波性能。当输入信号的统计特性未知或者输入信号的统计特性变化时,自适应滤波器能够自动地迭代调节自身的滤波器各参数,以满足某种准则的要求,从而实现最优滤波[6]。

由Widrow和Hoff提出的基于最速下降法的最小均方误差(LMS),因其具有计算量小、易于实现等优点而在实践中被广泛采用。

LM S算法包含计算线性滤波器响应、产生估计误差的滤波过程和根据误差自动调整滤波器参数的自适应过程,其算法结构如图2所示。

图 1变换域自适应滤波器结构

图2 LMS自适应滤波器算法结构

在图2所示的自适应算法结构中,输入信号x[n]通过参数可调的数字滤波器后产生输出信号y[n],将其与期望信号d[n]进行比较,得到误差信号e[n]。通过自适应算法对滤波器参数进行调整,最终使得e[n]的均方误差最小,从而使滤波器性能达到最佳。

抽头权向量的自适应算法的迭代公式为

式 (1)中,_是步长因子,也称收敛因子,决定收敛速度和稳定性。 LMS算法收敛的条件为:0＜_＜1/λmax。其中λmax是输入信号自相关矩阵 Rxx的最大特征值,Rxx=E{x[n]xT[n]}[7]。

由此可知,自适应 LMS算法的收敛速度与输入信号的自相关矩阵特征值的分散程度有很大的关系。其分散程度愈大,算法的收敛速度愈慢;分散程度愈小,即信号愈接近白噪声,算法的收敛速度就愈快。该算法的优点是结构简单,鲁棒性强;其缺点是收敛速度很慢。

1.2 沃尔什函数和沃尔什变换

沃尔什函数(Walsh Function)是将不完备的拉德梅克函数(Rademacher Function)加以完备化,从而形成一组完备的正交矩形函数组,定义为 wal(n,t)。其中t为时间,n为序数,它们以一定的方式和频率相联系[8-9]。

拉德梅克函数表达式为 rad(m,t),在[0,1)半开区间内有

拉德梅克函数是以1为周期的周期函数,其在 [0,1)区间具有2m-1个周期的矩形脉冲,取值为+1或-1,图形依次为二倍频关系,当m=0时为单位脉冲。

沃尔什函数wal(k,t)的定义为

式(3)中,k为列率,t为时间变量,m为编号k的二进制表示的位数,sgn(x)为符号函数。其二进制表示式为

式(4)中,kr为序数k的某种编码,m为k的二进制表示式的位数。

将沃尔什函数按其偶奇性质分为奇对称和偶对称两组,即

将沃尔什偶函数记作cal,奇函数记作sal,这样定义的两个Walsh函数就与傅里叶级数写成余弦级数和正弦级数的形式更加类似。

离散函数x[k]的沃尔什变换对为

以Walsh函数为基础的沃尔什变换对于信号与系统分析的变换域方法作了重要的补充。它只有加法和减法运算并以+1和-1两个离散值代替傅立叶变换中的复指数函数,故Walsh变换比较容易实现而且速度很快。

1.3 沃尔什-哈达玛变换

在众多的正交变换中,最简单的正交变换是沃尔什-哈达玛变换(Walsh-Hadamard Transform,WHT)。

以Walsh函数为基础的WHT为非正弦正交变换,以+1和-1这两个离散值代替Fourier变换中的复指数函数,只有加减运算,具有存储空间小、运算速度快等突出优点,其硬件实现更为简单,且有类似于FFT的快速算法,更适合于表达和处理数字信号。它在诸如通信、图像处理、声纳、雷达、语音处理、雷达等许多领域有着广泛的应用[10-14]。

假设N=2n,输入信号x(n)的 WHT为

式 (8)中 ,Wx(k)为第 k个 (WHT)w系数 ,且WTx(n)=[Wx(0)Wx(1)… Wx(N-1)];Hw(n)为正交对称矩阵,其逆变换为

式(9)中 Hadamard矩阵Hw(n)是以如下迭代形式变换

1.4 WHT的 LMS自适应滤波

WHT自适应滤波器在将输入信号送入自适应滤波处理之前,先进行WHT,然后再应用自适应滤波算法进行处理。

在图2所示的变换域自适应滤波器结构中,经过WHT后的输入信号为N×N正交换矩阵,即

经过自适应滤波器的输出信号为

式(14)中,wT= [wT,0(n) wT,1(n) … wT,N-1(n)]T为自适应滤波器的权系数向量,其估计误差为

为了优化滤波器的设计,选择e(n)为最小均方值,因此定义代价函数为均方误差

式(16)中,RT=E[xT(n)xTT(n)]=TE[x(n)xT(n)]TT=TRTT,pT=E[d(n)xT(n)]=TE[d(n)x(n)]=Tp。

确定使a获得最小值的运行条件,代入方程得最小均方差(MSE)为

2 实验与结果分析

所用原始语音信号为时长1 s的“你好!”语音信号,采样频率为 8 kHz,并将产生的白噪声加入到原始信号中。对图 3所示含噪声语音信号分别采用 LMS和WHT LMS两种方法进行处理。

图 4为通过本文算法对信号进行滤波后的结果。由图 4可以看出,LMS方法虽然基本上去除了噪音,但有一定失真(图4a);WHT LMS滤波方法能较好地去除噪声,从听觉效果上来说,去噪后基本上听不出背景噪声,与原语音非常接近(图4b)。由此可知,WHT LMS算法滤波效果较 LMS算法好。

图3 原始语音信号、含噪语音信号和噪声

图4 LMS和WHTLMS滤波语音信号

学习曲线是描述自适应滤波器均方差和迭代次数的关系曲线。图5、6分别为LMS和WHT LMS两种滤波算法的学习曲线。由图5、6可以明显看出,使用WHT LMS滤波算法在100点左右就收敛了,而只使用LMS的滤波算法在2000点左右才收敛。由此可以看出,使用WHT LMS滤波算法比LMS滤波算法收敛速度要快得多。

图5 LMS算法学习曲线

图6 WHTLMS算法学习曲线

3 小结

传统的线性 LMS算法是最基本的、也是最容易实现的算法。通过对 LMS算法进行改进,能够得到更好的性能,本文通过域变换方法进行改进LMS算法。由研究结果可以看出,使用WHT LMS的滤波效果比单独使用LMS的要好,而且收敛速度也有了较大的提高。WHT LMS滤波算法具有收敛速度快、运算复杂度高、数值稳定性好等特点,能有效地节省电路上所需的成本,加上收敛速度快的优点,可以对付环境噪声的特性改变。因此,WHT LMS的自适应滤波是一个非常有效的噪声滤除算法。

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