资源约束下的反导任务迭代收敛特性

董 涛 刘付显 李 响

(空军工程大学防空反导学院，西安710051)

张 辉

(93756部队，张家口075100)

Dong Tao Liu Fuxian Li Xiang

(School of Air and Missile Defense，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China)

Zhang Hui

(93756 Military Unit，Zhangjiakou 075100，China)

反导作战，简称“反导”，指使用反战术弹道导弹武器系统抗击敌战术弹道导弹突击的作战.反导作战是复杂的信息化体系作战，执行反导任务的作战资源，包括指控中心、预警卫星、地基远程预警雷达、末段高层火力单元、末段低层火力单元等［1－2］.反导任务包含预警探测、目标截获、跟踪识别、火力拦截、杀伤效果评估等，任务环环相扣，单一资源无法承担全部反导任务［3］.作战资源必须通过密切的信息交互进行协同作战，分别承担不同粒度的多类型反导任务.

信息实时交互也导致大量迭代，大大增加了反导任务总量，并影响到任务执行进度，如果不清楚任务总量迭代收敛机理，就无法合理规划反导任务.目前，关于任务总量及其迭代收敛性研究的文献较少［4－5］.本文结合任务转移矩阵，建立基于资源约束的任务总量模型，探究任务总量迭代收敛规律，为有效管理和控制反导任务提供了理论依据.

1 任务转移矩阵的建立

1.1 任务转移矩阵分析

任务迭代过程包括任务返工概率和返工量两方面.返工概率指任务以一定的概率引起其他任务的返工从而构成循环，返工量指在循环中的某任务将以一定比例的任务量再次执行.为有效管理与控制反导任务迭代，引入任务转移矩阵(TTM，Task Transform Matrix)准确度量任务之间的联系与依赖程度.

任务转移矩阵A是一个N×N维的矩阵，即 A=(aij)N×N，aij∈A，i，j=1，2，…，N.aij是任务转移量系数，表示任务执行过程中，任务Tj导致任务Ti进行aij个单位任务量的返工.任务转移矩阵A的对角线元素定义为0，即aii=0.

1.2 任务转移矩阵相关假设

任务转移矩阵建立在如下假设［6］基础上:

1)第1次迭代时所有任务并行执行，而在随后的迭代过程中按照返工概率执行;

2)在每一个迭代阶段，上次迭代未完成的任务量再次全部执行;

3)任务转移量系数保持不变，由于迭代次数的增加，引起相应的返工概率和返工量发生变化，但多数情况下返工状态在第1次返工后不发生太大变化;

4)每一任务收到其他任务的信息交互请求时作为一次迭代的开始，直到该任务收到下一次请求再进行下一次迭代.

2 任务总量的迭代收敛机理

2.1 任务总量模型

反导任务是动态变化的，信息实时传递和反馈所产生的大量迭代，大大增加了任务总量.如果不清楚任务总量变化趋势及其收敛规律，就无法合理规划反导任务.根据假设3)，令ρ(0≤ρ≤1)表示剩余任务总量每次迭代完成比例，每次均保持定值［4－5］.

其中，(1－ρ)Ut为第 t个单位时间内，因资源、时间等约束而遗留给第t+1个单位时间的剩余任务量;ρAUt为第t+1个单位时间需要返工的任务量;(1－ρ)Ut与ρAUt之和构成了第t+1个单位时间的任务总量Ut+1.

令UTotal表示需要完成的任务总量，是整个迭代过程中，任务向量对应元素之和.令 A*=(1－ρ)I+ρA，则 Ut=(A*)tU0.

对于任务转移矩阵A，若存在线性无关的向量S使得

其中，Λ为以A的各个特征值λi(i=1，2，…，N)为主对角元素的对角矩阵，称为特征结构矩阵;S为λi(i=1，2，…，N)对应的特征向量组成的矩阵，称为特征向量矩阵.

其中，I为N×N的单位矩阵;Λ*为A*的特征结构矩阵，Λ*=(1－ρ)I+ρΛ.

根据式(2)～式(4)，得式(5):

通过任务总量模型的对角化，建立UTotal与Λ*及S的关系.UTotal的收敛性取决于Λ*主对角元素，可根据A*的矩阵收敛特性对UTotal进行收敛性判定.

2.2 迭代收敛规律

引入任务转移模型的目的在于研究任务总量迭代收敛规律.Λ*是任务总量模型的核心，其对角元素决定了任务总量的收敛特性的大小定性反映了收敛趋势和速度.

由式(6)可知，任务总量UTotal的大小取决于λi和 ρ的取值.当 λi∈(－∞，1］时，A*的特征值(1－ρ+ρλi)大于 A 的各个特征值 λi.当 λi→1 时，任务总量UTotal随之不断变大，收敛速度逐渐减缓.其次，因每次迭代仅完成一定比例ρ(0≤ρ≤1)的任务量，所以λi为定值的情况下，随着ρ→1，UTotal逐渐减小，迭代收敛速度加快.

2.3 资源约束的影响

协同反导作战过程中，作战资源是有限的，资源约束是难以避免的.不合理的资源分配必然会影响反导作战能力、降低任务总量收敛速度，从而延误战机.为更有效地协同完成反导任务，必须综合平衡作战资源和任务总量、任务执行时间之间的矛盾［7］.

作战资源是影响任务总量迭代收敛的重要因素.承担反导任务的各个资源平台存在着不同的作战效率上限vi，max.当任务总量为定值时，在满足资源约束的条件下，以最短的时间为优化目标，可得到不同作战资源的最佳效率值.任务总量UTotal与作战资源的任务执行效率V、作战时间T的关系可表示为式(7).

其中，V=diag(v1，v2，…，vN)，vi为任务 Ti的执行效率，表示单位时间内完成的任务量;T=(t1，t2，…，tN)T是N×1维的时间向量，ti表示完成任务Ti消耗的时间单位.

在资源约束下，作战时间模型如式(8)所示.

根据式(8)，得到任务的最佳效率值vi，optimal.由 vi，optimal得到任务关键度 iimportant，如式(9)所示.

iimportant综合考虑了作战资源的最优效率和最大作战效率，精确描述了各任务不同的作战能力需求.可根据iimportant衡量任务的关键度，调整资源配置状态，优化任务执行顺序，提高任务总量UTotal的迭代收敛速度，缩短任务执行时间.

3 案例分析

以5个敌战术弹道导弹来袭时的反导作战为例，整个反导任务可抽象为5个任务［8］，因时间和资源的约束作用［9－10］，任务之间相互影响、相互制约.5个反导任务之间的联系如图1所示.

图1 反导任务之间的联系

基于图形的建模方法虽然能直观地表达任务之间的信息交互关系，但当任务规模相对庞大和复杂时，任务间的关系也因此变得复杂，不利于深入分析任务之间的相互影响和作用程度.

采用矩阵的形式描述任务关系，灵活且易于理解，便于计算.用模糊数来评定任务关联程度，建立任务转移矩阵，度量时序和信息对任务的影响度，揭示了反导任务的复杂关系.根据图1，确定反导任务的任务转移矩阵A，如式(10)所示.

由式(6)可知，UTotal与ρ成反比关系.当ρ=1时，任务总量UTotal最小，即:

图2 任务向量的变化趋势

在第1个单位时间内，由于任务间的相互影响和制约，任务3和任务5的任务量变大.但随着任务总量的迭代收敛，各任务向量逐渐收敛，任务之间的关系随之简化，复杂度不断降低.

作战资源是有限的，资源约束如式(11)所示.

根据式(8)和式(9)，计算最佳效率值vi，optimal和任务关键度iimportant，如表1所示.

表1 任务的执行顺序

任务关键度越大，说明该任务消耗的作战资源和时间越多.由表1可得，任务3和任务4的关键度最大，其需求的作战资源在达到最大效率的情况下，才能在规定时间内完成此任务.所以，任务3和任务4是关键任务，必须优先执行.而任务5的关键度最小，可最后执行，并且配置的作战能力过剩，存在着比较严重的作战资源浪费.因此，通过动态优化资源配置，能有效控制任务总量及其迭代收敛速度.

4 结 束 语

针对反导任务总量及其迭代收敛问题，本文引入任务量完工比例参数，建立任务转移矩阵，定量描述反导任务的复杂联系和作用强度.再建立任务总量模型，深入研究任务总量迭代收敛规律.在资源约束条件下，优化任务优先级，减少因迭代产生的返工和重复任务，有效缩减任务总量，缩短任务执行时间.本文对作战过程进行了一定程度的简化，需进一步研究反导任务的迭代次数、动态特性和任务转移矩阵精确度等问题.

References)

［1］Office of the Secretary of defense Washington DC.Ballistic missile defense review report［R］.ADA514210，2010

［2］Chaplain C.Missile defense:actions needed to improve transparency and accountability［R］.ADA540825，2011

［3］刘兴，梁维泰，赵敏.一体化空天防御系统［M］.北京:国防工业出版社，2011:296－308 Liu Xing，Liang Weitai，Zhao Min.Integrated aerospace defense system［M］.Beijing:NationalDefense Industry Press，2011:296－308(in Chinese)

［4］孙晓斌，肖人彬，李莉.并行设计中任务量与时间模型的探讨［J］.中国机械工程，1999，10(2):207－210 Sun Xiaobin，Xiao Renbin，Li Li.Explore on the workload model and the total consumption model of the planning of concurrent design［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，1999，10(2):207－210(in Chinese)

［5］邢乐斌，王旭，代应.协同产品设计过程中任务量的迭代收敛特征分析［J］.计算机集成制造系统，2008，14(12):2297－2300 Xing Lebin，Wang Xu，Dai Ying.Iteration convergence of task load in collaborative product design ［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2008，14(12):2297－2300(in Chinese)

［6］陈庭贵，肖人彬.基于内部迭代的耦合任务集求解方法［J］.计算机集成制造系统，2008，14(12):2375－2383 Chen Tinggui，Xiao Renbin.Coupled task set solving method based on inner iteration［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2008，14(12):2375－2383(in Chinese)

［7］杨飞，王青，吴振东.资源约束条件下舰艇编队多智能体协作规划［J］.北京航空航天大学学报，2011，37(2):210－215 Yang Fei，Wang Qing，Wu Zhendong.Formation cooperative planning method based on multiagent with resource constraints［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2011，37(2):210－215(in Chinese)

［8］O′NeillE J.Missile defense strategic stationing［R］.ADA542858，2011

［9］赵振宇，卢广山，廖沫，等.基于DTC和GPGP的多UCAV任务规划方法［J］.北京航空航天大学学报，2011，37(3):305－310 Zhao Zhenyu，Lu Guangshan，Liao Mo，et al.Mission planning of multiple UCAV based on DTC and GPGP［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2011，37(3):305－310(in Chinese)

［10］Yang C H，Liu J X，Chen H H，et al.Adaptive optimization of agile organization of command and control resource［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，2009，20(3):558－564