具有双相依结构的信度估计

腾 叶, 吴黎军

(新疆大学 数学与系统科学学院， 新疆 乌鲁木齐 830046)

在保险实践中，确定合适的保费是一项很重要的工作，如何对产品进行科学合理的定价往往是保险公司最为关心的问题．对非寿险产品定价时，经常遇到很多不确定性因素，因此非寿险产品的定价比寿险产品的定价要困难得多．在非寿险领域，其定价的基本方法是基于信度理论．信度理论就是通过结合各投保人的风险特性(先验信息)及其索赔经历(样本信息)来合理地确定保费，信度保费公式为：信度保费=Z*样本信息+(1-Z)*先验信息．文献[1]首次基于贝叶斯的理论建立了任意分布下净保费的信度估计，从而为信度理论的发展奠定了统计基础，关于信度理论的详细介绍可以参考文献[2]．

在相当长的一段时间内，信度理论极大地依赖于风险之间的独立性以及在时间分量上的条件独立性．因此很多学者在讨论信度保费时，一般都假设各风险组之间是相互独立的．但在现实中，这些独立性假设有时候是不成立的．事实上，在大多数情况下风险之间都存在相依性，各保险合同之间的索赔具有较强的相依性．例如，地域相邻的两栋承保房屋面临着共同的火灾风险，夫妻之间的寿命也呈现相依性，汽车保险中的一次交通事故可能导致多个承保车辆受损索赔等等．自20世纪90年代后期以来，关于风险之间相依性的研究受到了越来越多的精算学者的关注，例如文献[3]和文献[4]；文献[5]提出了一种具有共同效应的随机变量，并建立了风险之间呈现某种相依结构的信度模型，得到了正态分布下的信度公式；文献[6]提出了共同效应依赖结构下的Bühlmann和Bühlmann-straub模型，并得到了无分布情形下的信度保费估计．由于在经典的信度理论中，假定不同年份的索赔序列有共同的风险参数Θ，在风险参数给定情况下，不同年份的索赔相互独立且具有相同的分布，没有考虑不同年份之间风险的时间变化效应．所以文献[7]研究了误差等相关情况下的信度模型，考虑了不同年份索赔的风险之间具有等相关的信度模型，得到了相应的信度估计．文献[8]利用信度理论方法研究了具有时间变化效应的风险保费的估计问题；文献[9]建立了索赔频率风险模型，并得到了时间效应为自相关时间序列时的信度估计；文献[10-11]在Poisson索赔频率风险模型中讨论了相依结构对信度估计的影响；文献[12]在时间效应Student-t copula假设下研究了信度估计．

本文在综合分析已有研究文献基础上，综合考虑各风险组之间的共同效应和不同年份之间风险的时间变化效应来讨论相应的信度估计．

1 模型的准备与模型假设

minE[Xi,n+1-g(X1,X2,…，XK)]2

(1)

其中解g*(X1,X2,…，XK)在信度理论中称为Bayes保费.在信度理论中，将最优化问题(1)中的函数g限制在样本X1,X2，…，XK的线性函数中，定义非其次线性函数

(2)

和齐次线性函数

(3)

本文从两个方面进行延伸，第一，考虑各风险组之间具有共同效应的依赖结构；第二，考虑个体保单具有时间变化效应，假设时间变化效应由某种相关矩阵刻画.在综合考虑二者共同作用的情况下来讨论相应的信度估计.

本文的目的是建立具有双相依结构的信度模型，假设保单组合风险参数为Θ且风险参数为随机变量，预测保单组合在未来一年的索赔Xi,n+1.但与经典的信度理论不同，本文假定索赔随机变量Xij(i=1,2,…，k,j=1,2,…，n)有各自的风险参数Θij且这些风险参数具有某种相依结构.

1.1 假设和符号说明

假设1存在一个共同潜在变量Λ来表示保单组合之间的共同效应，随机变量Θi,i=1，…，k表示个体风险特点；给定Λ，随机向量(Xi,Θi),i=1，…，k是独立同分布的.对于确定的i,给定共同效应Λ，当风险参数Θij=θ时，索赔随机变量Xi1,Xi2,…，Xin是独立同分布的.同时，本文将经典的假设

E(Xij|Θij,Λ)=μ(Θij,Λ) cov(Xij|Θij,Λ)=σ2(Θij,Λ)

改为更广义假设

E(Xij|Θij,Λ)=βjμ(Θij,,Λ) cov(Xij|Θij,Λ)=γj(Θij,Λ)+ψjσ2(Θij,Λ)

用来讨论更一般的形式.

1.2 其他模型符号说明

μ1=E(μ1(Λ))，γj(Λ)=E[γj(Θij,Λ)|Λ],γj=E[γj(Λ)].

下面我们陈述一些引理，便于以下应用.

引理1随机变量Y在线性空间L(X,1)和Le(X)上的正交投影分别为非其次和齐次信度估计，即有

其中∑YX是Y与X的协方差矩阵.

引理2对任意闭集M′⊂M⊂L2和Y⊂L2则proj(Y|M′)=proj(proj(Y|M)|M′).

引理3设A,B,C,D是适当阶数的矩阵，则有下面的求逆公式

(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1

证明可见文献[13].

2 非齐次信度保费估计

定理1在以上假设条件和符号标记下，Xi,n+1,i=1,…，k的最佳线性非齐次估计为

(4)

证明记τ=(τ1,…,τn)′，β=(β1,…，βn)′，v=(β1τ1,…，βnτn)′，首先可以得到E(Xij)=βjμ1,i=1，…，k,j=1，…，n.运用方差的条件期望公式有

cov(Xi,n+1,X)=E[cov(Xi,n+1,X|Θ,Λ)]+cov[E(Xi,n+1,X|Θ,Λ)]

(5)

因为cov(Xi,n+1,X|Θ,Λ)=0,所以未来索赔随机变量和过去索赔随机变量的协方差为

cov(Xi,n+1,X)=cov[E(Xi,n+1|Θi,n+1,Λ),E(X|Θ,Λ)]=

cov[βn+1μ(Θi,n+1,Λ),(β1μ(Θ11,Λ),…，βnμ(Θ1n,Λ),…，β1μ(Θk1,Λ),…，βnμ(Θkn,Λ))]=

E{cov[βn+1μ(Θi,n+1,Λ),(β1μ(Θ11,Λ),…，βnμ(Θ1n,Λ),…，β1μ(Θk1,Λ)，…，βnμ(Θkn,Λ))|Λ]}+

cov{E[βn+1μ(Θi,n+1,Λ),(β1μ(Θ11,Λ),…，βnμ(Θ1n,Λ),…，β1μ(Θk1,Λ),…，βnμ(Θkn,Λ))|Λ]}=

(6)

其中，ei是第i个位置为1其余位置为0的n维列向量，1n是n个元素全为1的列向量.

通过简单计算可得随机向量X的方差为

(7)

由引理3矩阵求逆公式得

(8)

(9)

结合(6)式和(9)式可以得到

(10)

(11)

此时有信度保费

此时信度估计成为

(12)

即它是Bühlmann信度估计，因此定理可以看成是经典信度理论的推广.

3 齐次信度保费估计

下面将讨论多合同模型中齐次的信度估计，叙述定理如下.

定理2在以上假设条件和符号标记下，Xi,n+1,i=1,…，k的最佳线性齐次估计为

(13)

证明由引理2正交投影的平滑性，有

proj(Xi,n+1|Le(X))=proj(proj(Xi,n+1|L(X,1))|Le(X))

(14)

(15)

根据以上结论可得

所以有

4 结束语

本文利用信度理论的方法，综合考虑各风险组之间的共同效应和不同年份之间风险的时间变化效应，来讨论相应的信度估计，分别得到了多合同模型下的非齐次和齐次信度保费估计，并给出了相应的信度保费表达式.结果表明，所得到的信度公式具有经典的信度形式，避免了独立性的限制，这一结果推广了经典的信度模型．

[1] Bühlmann H． Experience rating and credibility I [J]． Astin Bulletin，1967， 4(3)： 199-207．

[2] Bühlmann H， Gisler A． A course in credibility theory and its applications[M]． Netherlands： Springer，2005：77-264．

[4] Dhaene J， Denuit M，Goovaerts M J，etal.The concept of comonotonicity in actuarial science and nance：theory[J]. Insurance: Mathematics and Economics，2002，31(2)：133-161．

[5] Yeo K L，Valdez E A．Claim dependence with common effects in credibility models[J].Insurance：Mathematics and Economics，2006，38(3)：609-629．

[6] Wen L M， Wu X Y， Zhou X． The credibility premiums for models with dependence induced by common effects [J]．Insurance：Mathematics and Economics，2009，44(1)： 19-25．

[7] Wen L M，Wang W，Yu X L．Credibility models with error uniform dependence [J]． Journal of East China Normal University：Natural Science，2009(5)：118-126．

[8] 郑丹，章溢，温利民．具有时间变化效应的信度模型[J]．江西师范大学学报：自然科学版， 2012， 36(3)：249-252．

[9] Bolancé C，Guillén M，Pinquet J．Time-varying credibility for frequency risk models： estimation and tests for autoregressive specifications on the random effects [J]．Insurance： Mathematics and Economics，2003，33(2)：273-282．

[10] Purcaru O，Denuit M．On the dependence induced by frequency credibility models [J]． Belgian Actuarial Bulletin，2002，2(1)：73-79．

[11] Purcaru O，Denuit M．Dependence in dynamic claim frequency credibility models [J]．Astin Bulletin，2003，33(1)：23-40．

[12] Frees E W，Wang P．Credibility using copulas [J]．North American Actuarial Journal，2005，9(2)：31-48．

[13] Rao R, Toutenburg H. Linear Models[M].New York:springer,1995.