一种基于曲波变换的数字水印算法

姜 军，王朝霞，卓 嘎，冯建尚，聂涛远

(1.西藏大学工学院，西藏拉萨 850000;2.西藏大学学工处，西藏拉萨 850000)

在小波变换出现的十几年里，小波分析以惊人的速度完成了理论建造过程，其应用领域也迅速从数学、信号分析拓展到物理、天文、地理、生物、化学等其他学科，并取得了出色的应用效果。在2－D图像情况下，图像大多信息包含在边缘中，而小波变换只能反映“过”边缘(Across Edge)特性，而无法表达“沿”边缘(Along Edge)特性［1］。另外，图像处理中一般采用的离散小波变换核只具有有限方向，即水平、垂直和对角，它显然是各向同性(Isotropy)的，无法更精确地表达沿边缘的方向。可见在图像处理中，最好能获得比小波基表达能力更强的基函数，针对小波变换的上述缺点，Candès和Donoh于1999年提出了Curvelet变换的概念。而Curvelet仅是众多多尺度几何分析的一种方式。目前，提出的多尺度几何分析方法主要有:Ridgelet变换、Curvelet变换、Bandelet变换等。不同X－let方法的出现，所能有效描述函数特征的不同方面，Ridgelet能有效地描述图像的直线特征;Curvelet提出的初衷则是为了对高维空间中含奇异曲线或者曲面的函数进行“稀疏”表示1－4。

1 曲波变换理论

曲波变换实质上是由脊波理论衍生而来。单尺度脊波变换的基本尺度s是固定的，而曲波变换则是在所有可能的尺度s≥0上进行分解，即利用多尺度脊波变换。曲波变换是由一种特殊的滤波过程和多尺度脊波变换组合而成。

下面采用图例来对比说明小波变换对于奇异曲线描述的局限性，Curvelet变换是如何获得曲线的“稀疏”表示。

图1(a)表示了用二维可分离小波逼近图像中奇异曲线的过程。由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，在不同的分辨率下，其支撑区间为不同尺寸大小的正方形，在第j个尺度的二维小波分解中，每一个小波局部化于一个相应的边长为2－j×2－j的方形区域。由于通过边缘的不连续性是空间分布的，这种不连续性会广泛地和小波级数展开中的许多项“相交”，最终表现为小波不能“稀疏”表示线状奇异性。而事实上，具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，如自然图像沿边缘的不连续性。在二维的情形，小波不能利用水平集的正则性，这是因为小波的正方形支集不随图像几何而调整。

在二维情况，当图像具有奇异曲线并且曲线是二次可微的，则曲波可以自适应地“跟踪”奇异曲线。图1(b)为用Curvelet逼近图像中的奇异曲线的过程，其基的支撑区间表现为长条形，满足尺度关系width=length，将这个关系称为“各向异性尺度关系”(Anisotropy Sealing Relation)。从两图的比较可以看出，当尺度加细时，几个“长条形”基的支撑区间就可以覆盖整条奇异曲线，并且这种基还具有方向性，因而可以对曲线奇异性进行更稀疏的表示［2］。

图1 小波和曲波的基结构对曲线的表示

第一代Curvelet变换的数字实现比较复杂，需要子带分解、平滑分块和Ridgele分析等一系列步骤，而且Curvelet金字塔的分解也带来了巨大的数据冗余量，因此E.J.Candes等又提出了实现更简单、更便于理解的第二代Curvelet变换算法［3－4］。即构建了新的曲波紧致框架，它是新的基于频域的曲波实现方法，本质上是含不连续C2曲线的对象的最优稀疏表示。新框架直接从频域进行多尺度分析，不再象脊波或第一代曲波变换那样依赖几何多尺度特性［5－6］。

图2 离散曲波的频域图

第二代数字Curvelet变换的实现与第一代截然不同，但二者具有共同的体系结构。连续域中频率窗Uj将频域光滑地分成角度不同的环形，这种分割方法并不适合图像的二维笛卡尔坐标系，因此，采用同中心的方块区域Uj来替代，如图2所示。

现定义笛卡尔坐标系中的频率窗函数为Uj，l(ω)=Wj(ω)Vj(Sθlω)，其中

φ被定义为一维低通窗口的内积

而 Sθ为剪切矩阵其中，θl并非等间距的，但是斜率是等间距的。

由此离散Curvelet变换定义为

2 鲁棒数字图像水印算法

曲波变换也是第二代小波变换，鉴于曲波能对二维乃至高维空间中含奇异曲线或者曲面的函数进行更“稀疏”地表示这一特性，国内外众多学者和研究人员尝试将曲波变换应用于数字水印技术，希望利用曲波变换后具有多尺度和各向异性的特点，以提高水印系统的鲁棒性。目前，在曲波域数字水印技术的研究中，有的研究者将水印信息嵌入到低频系数中，有的选择中高频系数进行嵌入，还有的选择多尺度的重要系数嵌入，取得了一些成果，但水印系统的鲁棒性都不是很好。为此，提出了一种基于Curvelet变换的数字水印技术算法，算法首先对原始图像进行曲波变换，再将水印图像嵌入到曲波变换后的粗尺度系数中，在保证嵌入图像的不可见性和鲁棒性的前提下，寻找到了近乎最优的水印嵌入位置和嵌入强度。并能通过一定的算法检测出嵌入的水印图像。

2.1 算法框图

算法的系统框图如下，图3(a)是嵌入过程，而图3(b)则是提取过程。

2.2 水印信号的嵌入与提取

选取标准的256×256的256灰度级Lena图像作为原始图像，21×21的含有“姜”文本字样的二值图像作为水印图像，为获得理想的效果，应该选择较粗字体的文本图像。载体图像和水印图像分别如图4(a)、图4(b)所示。选择粗尺度层的系数进行嵌入，按照提出的水印嵌入和提取算法进行实验，并计算嵌入水印后的载体图像PSNR值和提取出的水印NC值来定量分析结果。具体的水印嵌入步骤如下:

图3 曲波变换域水印嵌入和提取过程

(1)Curvelet变换。利用基于Wrapping的快速曲波变换(FDCvT)对原始图像进行曲波变换，其中，参数nbscales表示曲波变换的尺度，包括从粗尺度层(coarsest level)、细尺度层(detailed level)和最优尺度层(finest level)。默认值为(log2(min(M，N))－3)，M和N是图像的像素值。

(2)嵌入。将水印序列嵌入到曲波变换后的粗尺度系数中，嵌入规则如式(3)所示

c'(i，j)(m，n)=c(i，j)(m，n)+alpha × w(k，l)(3)式中，c代表曲波系数;w(k，l)是水印序列;alpha是嵌入强度因子，由用户定义;c'表示嵌入水印序列后的系数。

(3)曲波反变换。将式(3)中的c'回送到cell类型曲波系数的低频系数中，再做曲波反变换，就获得了水印载体图像，即含水印图像。

曲波域水印提取是嵌入过程的逆过程，步骤如下:

1)Curvelet变换。利用基于Wrapping的快速曲波变换(FDCvT)对水印载体图像和原始图像分别进行曲波变换，得到5尺度的cell类型数据，其中粗尺度层系数是一个21×21的矩阵。

2)提取水印。选取两幅图像经曲波变换后的粗尺度系数矩阵按式(4)进行判决，

式中，c'表示嵌入水印序列后的粗尺度系数矩阵;c表示原始图像的粗尺度系数矩阵;alpha是嵌入的强度因子。当c'与c的差值大于等于alpha的一半时，wm_re就判决为1，否则判为0，这个判决结果矩阵就是恢复出来的水印图像。

未受攻击时，嵌入和提取水印的试验结果如图4所示。

图4 基于曲波变换的数字水印嵌入和提取

2.3 不可见性测试

对比图4(a)原始图像和图4(c)水印载体图像，从肉眼几乎无法辨识出两者间的差别。从定量计算的结果得知，PSNR值为 55.76 dB，对比文献［7］中Curvelet域无攻击情况下PSNR值为50.12 dB，其性能有显著提高。NC系数为0.993 5。该算法在保证能够完整提取水印的同时，也满足了水印算法不可见性要求。

2.4 鲁棒性测试

数字水印算法的一个重要性能指标就是水印的抗干扰能力，即当被保护的信息经过某种图像处理后，嵌入的信息应能保持完整性，即不能被轻易的去除，并能以一定的正确概率被检测到。为此，对嵌入水印后的图像进行了多项鲁棒性实验，如下所示:

(1)JPEG压缩攻击。

图5(a)QF为90%的JPEG攻击后的加水印图像;图5(b)QF为90%的JPEG压缩后提取的水印(NC=0.993 5);图5(c)QF为70%的JPEG攻击后的加水印图像;图5(d)QF为70%的JPEG压缩后提取的水印(NC=0.990 2);图5(e)QF为50%的犯EG攻击后的加水印图像;图5(f)QF为50%的JPEG压缩后提取的水印(NC=0.964 0);图5(g)QF为30%的JPEG攻击后的加水印图像;图5(h)QF为30%的JPEG压缩后提取的水印(NC=0.925 6)。

图5 抗JPEG压缩攻击实验结果

(2)噪声攻击。

图6(a)为高斯白噪声攻击后的加水印图像;图6(b)为高斯白噪声攻击后提取的水印(方差0.001;NC=0.9250);图6(c)为椒盐噪声攻击后的加水印图像;图6(d)为椒盐噪声攻击后提取的水印(噪声强度0.002;NC=0.950 6)。

(3)滤波攻击。

图6 抗噪声攻击实验结果

图7(a)为高斯低通滤波后的加水印图像;图7(b)为经高斯低通滤波后恢复的水印图像(模板尺寸为［3，3］;NC=0.957 0);图7(c)为中值滤波后的加水印图像;图7(d)为经中值滤波后恢复的水印图像(模板尺寸为［3，3］;NC=0.873 0)。

图7 抗滤波攻击实验结果

3 结束语

提出的基于曲波变换的数字水印算法在抵抗JPEG压缩、噪声攻击、中值滤波等攻击性能比文献［7］有所提高，但抗旋转攻击性能却较差。该算法将水印信息嵌入到曲波变换的粗尺度系数矩阵中，考虑到水印鲁棒性和不可见性要求，选择合理的嵌入强度，使得加水印图像的不可见性较为理想。由于选择代表了图像绝大多数能量的低频系数嵌入，因此文中算法的鲁棒性也较强。

［1］倪林，MIAO Y.一种更适合图像处理的多尺度变换—Curvelet变换［J］.计算机工程与应用，2004(8):21－26.

［2］焦李成，谭山.图像的多尺度几何分析:回顾和展望［J］.电子学报，2003，31(12):1975 －1981.

［3］CANDÈSE J，DEMANET L，DONOHO D L，et al.Fast discrete curvelet transforms.applied and computational mathematies［J］.California Institute of Teehoology，2005(6):1－43.

［4］CANDÈSE J，DEMANET L，DONOHO D L，et al.Fast discrete curvelet transforms［EB/OL］.(2010 －11 －12)［2012－03－01］http://www.curvelet.org.

［5］EMMANUEL J CANDES，DAVID L DONOHO.New tight frames of curvelets and optimal representations of objects with C2Singularities［J］.Communications on Pure and Applied Mathematics，2004，57(2):219 －266.

［6］姜军，卓嘎，王朝霞.数字水印及其典型算法研究［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2009年上半年专刊:111－114.

［7］刘玉凤.基于多尺度技术的数字图像水印算法研究［D］.金华:浙江师范大学，2007.