高阶非完整系统广义Tzénoff方程的Mei对称性导出的新守恒量

郑世旺，王建波

(商丘师范学院物理与电气信息学院，河南商丘476000)

高阶非完整系统广义Tzénoff方程的Mei对称性导出的新守恒量

郑世旺，王建波

(商丘师范学院物理与电气信息学院，河南商丘476000)

研究了高阶非完整系统广义Tzénoff方程的Mei对称性及其所导出的新守恒量，给出了这种新守恒量的函数表达式和导出这种守恒量的判据方程.该研究结果具有一般性，为探究任意阶非完整系统广义Tzénoff方程的守恒规律奠定了理论基础.

高阶非完整系统;广义Tzénoff方程;Mei对称;新守恒量

0 引言

1953年保加利亚科学院院士Tzénoff构造了经典力学系统的一种新型动力学函数称为Tzénoff函数，他建立了一类新型运动微分方程被称为Tzénoff方程，与其它动力学方程如Lagrange方程、Nielsen方程、Appell方程相比较，Tzénoff方程至今仍为最简捷的动力学微分方程.在1985到1987年期间，我国学者梅凤翔、程丁龙等把Tzénoff方程推广到了可控力学系统[1]、变质量系统[2]、变质量高阶非完整系统[3]，在专著[4]中又推出了广义Tzénoff函数和广义Tzénoff方程.对称性原理是物理学中更高层次的法则，动力学系统中的守恒量更能揭示深刻的物理规律，动力学系统的对称性与守恒量之间具有一定的内在关系[5].近年来，对称性与守恒量的研究已经成为力学、物理学、数学等领域的一个非常活跃的课题，且已经取得重要研究成果[6－21]，这些成果大都是借助于动力学系统的Lagrange函数、Hamilton函数和Appell函数来求系统的守恒量，其实在分析力学中有多种运动微分方程，其中最为简捷的是Tzénoff方程，只要给出系统的Tzénoff函数，研究系统的运动规律是比较方便的.目前，Tzénoff方程的对称性与守恒量的研究也有了一些成果[22－30]，但这些成果主要是针对一般Tzénoff方程，还没有涉及到高阶非完整系统下的广义Tzénoff方程.

本文企图研究高阶非完整约束状态下广义Tzénoff方程的Mei对称性及其直接导出的守恒量，力求给出高阶非完整系统广义Tzénoff方程Mei对称性的判据方程及其守恒量的表达式，最后举例说明研究结果的应用.

1 高阶非完整系统的广义Tzénoff方程

假设力学系统由N个质点组成，系统的位形由n个广义坐标qs(s=1，…，n)来确定，系统的运动受有g个理想l阶非完整约束

约束(1)加在虚位移的Chetaev条件为

取广义Tzénoff函数为[4]

由于ri=ri(t，qs)，又有

和

所以，广义Tzénoff函数Km是的函数.由文献[27]知高阶非完整系统的广义Tzénoff方程为

方程(6)中的m和l可以相同也可以不同，设系统非奇异，可由方程(1)，(6)先求得乘子λβ，若m≥l，则λβ最多是的函数，若m≤l，则λβ最多是的函数.可将方程(4)表示为

虽然，Km中含有因子，但由于(4)、(5)式知方程(6)、(7)的左端不可能含有因子.以下推导我们暂设m≥l，则(7)式中

2 高阶非完整系统广义Tzénoff方程Mei对称性的定义和判据

取时间和坐标的群的无限小变换

或其展开式

其中ε是一无限小参数，ξ0，ξs为无限小生成元.于是有，

其中算符[21]

高阶非完整约束(1)在变换(9)下的不变性归结为约束限制方程

定义如果用经过变换后的函数Km*和Λ*s代替变换前的函数Km和Λs，方程(7)的形式保持不变，即

或

且约束限制方程(13)成立，那么这种不变性称为高阶非完整系统广义Tzénoff方程的Mei对称性.(15)式即为高阶非完整系统广义Tzénoff方程Mei对称性的判据方程.

判据对高阶非完整约束系统，如果无限小生成元ξ0，ξs使判据方程(15)成立，则相应的不变性为高阶非完整系统广义Tzénoff方程的Mei对称性.

3 高阶非完整系统广义Tzénoff方程Mei对称性所导出的新守恒量

定理对于高阶非完整系统广义Tzénoff方程Mei对称性的生成元ξ0，ξs，如果能找到规范函数G满足如下结构方程

则这种广义Tzénoff方程的Mei对称性将直接导出一种新守恒量

(16)式中

证明对(17)式求导并考虑到在Mei对称性情况下判据方程(15)成立，有

证毕.

4 分析与讨论

当m=2时，(3)式为一般Tzénoff函数，此时，由于，故结构方程为

新守恒量为

新守恒量为

新守恒量为

……

5 应用例子

已知高阶非完整约束系统广义Tzénoff函数和约束条件分别为

试求该力学系统的Mei对称性直接导出的新守恒量(21).

解从(24)、(25)可以看出m=3，l=2，此时，高阶非完整系统广义Tzénoff方程(6)应为

方程(26)给出

由(25)、(27)式求得

(27)式成为

由(8)式给出

取生成元

有

显然Mei对称性判据方程(15)成立.结构方程(20)给出.

当G1=0时，(21)式给出平凡守恒量，当G2=－t+q2时，(21)式给出新守恒量

6 结语

本文研究了高阶非完整约束状态下广义Tzénoff方程的Mei对称性及其直接导出的新守恒量，给出了高阶非完整系统广义Tzénoff方程Mei对称性的判据方程及其新守恒量的表达式，该研究结果对探究任意阶非完整系统广义Tzénoff方程的守恒规律奠定了理论基础.

[1] 程丁龙.ЦЕНОВ方程对变质量非完整系统的推广[J].北京理工大学学报，1987，3:76－85.

[2] 梅凤翔.非完整系统力学基础[M].北京:北京工业学院出版社，1985.

[3] 梅风翔.非完整动力学研究[M].北京:北京工业学院出版社，1987.

[4] 梅凤翔，刘端，罗勇.高等分析力学[M].北京:北京理工大学出版社，1991.

[5] Noether A E.Invariance Variations problem s[J].Kgl Ges Wiss Nachr Göttingen Math Phys.，1918，Kl，II:235－257.

[6] Mei Fengxiang.Form invariance of Lagrange system[J].Journal of Beijing Institute of Technology，2000，9(2):120－124.

[7] Chen Xiangwei，Liu Cuimei，Li Yanmin.Lie symmetries，perturbation to symmetries and adiabatic invariants of Poincare equatons[J].Chinese Physics，2006，15(3):470－474.

[8] 罗绍凯.Hamilton系统的Mei对称性、Noether对称性和Lie对称性[J].物理学报，2003，52(12):2941－1944.

[9] Chen Xiangwei，Zhao Yonghong and Li Yanmin.Conformal invariance and conserved quantities of dynamical system of relative motion[J].Chinese physics B，2009，18(8):3139－3144.

[10] Zhang Yi，Mei Fengxiang.Form invariance for systems of generalized classical mechanics[J].Chinese Physics，2003，12(10):1058－1062.

[11] 梅凤翔.约束力学系统的对称性与守恒量[M].北京:北京理工大学出版社，2004.

[12] 楼智美.哈密顿Ermakov系统的形式不变性[J].2005，54(5):1969－1971.

[13] 方建会，丁宁，王鹏.非完整力学系统的Noether－Lie对称性[J].物理学报，2006，55(8):3817－3820.

[14] 葛伟宽.一类动力学方程的Mei对称性[J].物理学报，2007，56(1):1－4.

[15] 李彦敏.变质量非完整力学系统的共形不变性[J].云南大学学报(自然科学版)，2010，32(1):52－57.

[16] 贾利群，解银丽，罗绍凯.相对运动动力学系统Appell方程Mei对称性导致的Mei守恒量[J].物理学报，2011，60(4):040201－1－040201－4.

[17] 楼智美，梅凤翔.二维各向异性谐振子的第三个独立守恒量及其对称性[J].物理学报，2012，61(11):110201－1～110201－5.

[18] 方建会.Lagrange系统Mei对称性直接导致的一种守恒量[J].物理学报，2009，58(6):3617－3619.

[19] 孙现亭，韩月林，王肖肖，张美玲，等.完整系统Appell方程Mei对称性的一种新的守恒量[J].物理学报，2012，61(20):200204－1－200204－4.

[20] 刘洪伟，李玲飞，杨士通.Kepler方程的共形不变性、Mei对称性与守恒量[J].物理学报，2012，61(20):200202－1－200202－5.

[21] Jiang Wenan，Zhuang Jun，Luo Shaokai.Mei symmetries and Mei conserved quantities for higher－order nonholonomic constraint systems[J].Chinese Physics B，2011，20(3):030202－1～030202－7.

[22] Zheng Shiwang，JIA Liqun，Yu Hongsheng.Mei Symmetry of Tzénoff Equations of Holonomic System[J].Chinese Physics，2006，15(7):1399－1402.

[23] Zheng Shiwang，Xie Jiafang.Jia Liqun.Symmetry and conserved quantity of Tzénoff equations for holonomic systems with redundant coordinates[J].Chinese Physics Letters，2006，23(11):2924－2927.

[24] Zheng Shiwang，Xie Jiafang，Jia Liqun.Symmetry and Hojman conserved quantity of Tzénoff equations for unilateral holonomic system[J].Communications in Theoretical Physics，2007，48(1):43－47.

[25] Zheng Shiwang，Xie Jiafang，Li Yanmin.Mei symmetry and conserved quantity of Tzénoff equations for nonholonomic systems of non－Chetaev，stype[J].Communications in Theoretical Physics，2008，49(4):851－854.

[26] Zheng Shiwang，Xie Jiafang，Zhang Qinghua.Mei symmetry and new conserved quantity of Tzénoff equations for holonomic systems[J].Chinese Physics Letters，2007，24(8):2164－2166.

[27] 郑世旺，解加芳，陈向炜，等.完整系统Tzénoff方程的Mei对称性直接导致的另一种守恒量[J].物理学报，2010，59(8):5209－5212.

[28] Zheng Shiwang，Xie Jiafang，Wang Jianbo，Chen Xiangwei.Another conserved quantity by Mei symmetry of Tzénoff equation for the non－holonomic systems[J].Chinese Physics Letters，2010，27(3):030307－1－030307－4.

[29] Zheng Shiwang，Wang Jianbo，Chen Xiangwei，Xie Jiafang.Mei symmetry and new conserved quantities of Tzénoff equations for the variable mass higher－order nonholonomic system[J].Chinese Physics Letters，2012，29(2):020201－1～020201－4.

[30] 郑世旺，王建波，陈向炜，李彦敏，等.变质量非完整系统Tzénoff方程的Lie对称性与其导出的守恒量[J].物理学报，2012，61(11):111101－1～111101－5.

Mei symmetry and new conserved quantities of generalized Tzénoff equations for higher－order nonholonomic system

ZHENG Shiwang，WANG Jianbo
(School of Physics and Electrical Information，Shangqiu Normal University，Shangqiu 476000，China)

The Mei symmetry of generalized Tzénoff equations of the higher－order nonholonomic system and new conserved quantities derived from that are studied in this paper.The function expression and criterion equation of these new conserved quantities are given.This result is general and establishes the theory basis for researching the conversed laws of generalized Tzénoff equations of any order nonholonomic system.

higher－order nonholonomic system;generalized Tzénoff equations;Mei symmetry;new conserved quantities

O320

A

1672－3600(2013)09－0035－06

2013－01－19;

2013－01－28

国家自然科学基金资助项目(No.10972127)

郑世旺(1963－)，男，河南兰考人，商丘师范学院教授，主要从事分析力学的研究.

【责任编辑:徐明忠】