船—冰碰撞几何概率计算方法及影响因素研究

张 健，万正权，张充霖，尹 群

（1江苏科技大学 船舶与海洋工程学院，江苏 镇江212003；2中国船舶科学研究中心，江苏 无锡214082）

1 引 言

据美国地质调查局的2008年的评估显示[1]，北极圈地区蕴藏着尚未开发的30%天然气资源和13%的石油资源，被誉为是下一个波斯湾。可以预言，极地海域的开发将成为未来世界追逐的焦点。近一个世纪以来，由于温室效应导致全球气候变暖，南北两极的冰川大量融化，一方面使得开辟具有更短航程的航线成为可能，但一方面又使散落于海上的冰山及浮冰碎片大量增加，给航行于其间的船舶带来极大的困难和潜在的威胁，船只与包括冰山在内的浮冰碰撞事故屡有发生，往往造成船体损坏，并引起货物泄露和环境污染，乃至酿成重大人员伤亡。而对于不同海域，受风、浪、流等各种因素的影响，船舶与浮冰的分布密度往往差别较大，因此有必要对具体航道下的船-冰碰撞概率问题进行研究。这对于预报高纬度海域船舶与浮冰的碰撞风险，保障船舶在冰区中的航行安全具有重要的实际意义。

2 船—冰碰撞问题场景描述

对于某海域来说，设其面积为S1。一定时期内，若海况稳定，则浮冰的数目可看作是不变量，设为n。对于往来于各个港口之间的远洋船队来说，其航迹并不是杂乱无章的，即航线往往是遵循一定路线，航行其中的船舶沿一定航线形成的航迹范围称为航道，设航道在该海域的面积为S2。海域与航道的示意图如图1所示，假设在某种情形下，n个浮冰中有m个进入该航道，则此情形出现的概率为：

式中：a=S2/S1，为单块浮冰由海域的其他地区进入设定航道的概率，由于浮冰是自由漂浮在海面上的，因此等于航道面积与海域面积之比。

图1 航道侧视图Fig.1 Long shot of the channel

图2 航道坐标系Fig.2 Coordinate of the channel

在某一时刻点，由于浮冰运动的速度很小，可看作是相对静止的，因此将航道“封闭”起来作为进一步的研究对象，而海域内其余部分的浮冰则不会对航道内部的船—冰碰撞概率产生任何影响。对于n个浮冰本文采用上述二项分布进行研究，即（1）式只是众多情况当中的一种，对于浮冰进入选定航道的概率，显然有n种情况，即m值的变化范围为0到n。因此，得到的概率是基于以上n种情况的总和。可表示为：

由此，将目标海域的船舶与浮冰碰撞概率问题转化成设定航道上船舶与m个浮冰（m∈［0,n］）的碰撞概率问题。

3 船—冰碰撞概率计算模型

3.1 航道坐标系的定义

正确的定义航道坐标系是建立概率计算模型的基础，不仅能够减少计算量，而且可以提高计算精度和效率。本文将航道所处的坐标系定义如下：原点位于海域中某航道的左侧下方端点处，X轴水平指向正东方向，Y轴垂直指向正北方向，如图2所示。

3.2 二维随机变量的概率密度

为了能更直观、清晰地阐述推导思路，下面的推导先仅对一艘船舶和一块浮冰的碰撞问题进行分析，而后再考虑船舶与多块浮冰碰撞的情况。在不考虑船、冰尺度的前提下，先将二者质点化，并设定船舶与浮冰的航道坐标，船舶（质点A）的坐标为（x1，y1），浮冰（质点B）的坐标为（x2，y2），同时规定这四个变量是相互独立的。设质点A在x方向的概率密度函数为f（x1），y方向的概率密度函数为F（y1），质点B在x方向的概率密度函数为g（x2），方向的概率密度函数为G（y2）。

对于二维连续性随机变量Z=X+Y的分布，若X和Y相互独立，设X、Y关于x和y的边缘密度分别为fX（x），fY（y），根据二维随机变量的卷积公式，有[2]：

同理，对于随机变量X=x1-x2，设X的概率密度为φX（x），可以表示为：

设航道的平均长度为L，约束范围如下：

因此，对于随机变量X的概率密度函数，根据上述条件可以表示为：

同理，对于Y=y1-y2，设Y的概率密度为φY（y），航道的平均宽度为B，约束范围为：

因此，对于随机变量Y的概率密度函数，根据上述条件可以表示为：

由于x1，y1，x2，y2为四个相互独立的随机变量，因此根据概率论的原理，X和Y也是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为φX（x）和φY（y）。对于平面内的二维连续型随机变量（X，Y）来说，设其联合概率密度为h（x,y），则可以表示为：

3.3 基于复合体的几何概率积分

对于碰撞过程中船舶与浮冰的尺寸问题，本文采用复合体概念以确定船—冰碰撞的尺度范围。设航道内某艘船舶的总长为l，型宽为b，一块浮冰（考虑呈圆形）的直径为d，即半径RC为d/2。为了处理方便同时考虑到船舶的安全性，将船舶的形状等效成长为l、宽为b的矩形的外接圆，则其半径RB为：

同时建立一个以船舶质心A为圆心，船舶与浮冰的半径之和为半径R的圆，即R=RB+RC。而浮冰此时则看作为质点B，当该质点进入此圆域，则认为浮冰与船舶发生了碰撞。该等效圆域称作船-冰复合体，其半径R称作船舶的安全半径[3]，如图3所示。

数学上，当两质点A和B的距离在安全半径范围以内时，可以表示为：

图3 复合体示意图Fig.3 Complex schematic drawing

图4 船舶与冰山碰撞的地理位置Fig.4 Map showing geographical locations

由于X=x1-x2，Y=y1-y2，所以（11）式又可以写作从该表达式可以看出，确定航道上船冰碰撞概率p2可以表示为二维随机变量（X，Y）分布的概率密度函数h（x,y）在圆域内的积分，即：

以上所有推导是基于一艘船舶和一块浮冰—两个实体进行分析的，在实际中，由于设定航道内的m块浮冰与船舶在同一时刻的相对位置即距离小于或等于安全半径R的概率均为p2。则理论上船-冰发生碰撞事件的概率可以表示为：

结合上述数学推导，可以发现，目标海域内的船-冰碰撞概率问题可分为两部分来进行，即浮冰进入航道的概率和基于复合体概念的航道内船-冰碰撞的几何概率。（13）式中，由于m∈［0,n］，因此可得到目标海域船—冰碰撞几何概率P的表达式：

4 船—冰碰撞几何概率数值算例

根据加拿大的Hill[4]对19世纪末到20世纪末一百年间发生在北大西洋上的船舶与冰山的碰撞事故进行的统计，如图4所示，图中红色十字叉表示船舶与冰山发生碰撞的地理位置。在图4海域3中，往来欧美之间的多条航道汇集于此[5]，同时，考虑海域3相对开阔，故选择海域3作为研究对象。

根据文献[4]的记载，海域3的地理位置介于北纬35°到52°，西经35°到55°之间。由于1°约等于111 km，因此其面积为：

在海域3中，选取一条从A港到B港的航线如图1所示，该航线贯穿海域形成航道的面积为S2。设航道平均长度L为2 000 km，平均宽度B为6 km，则S2为12 000 km2。

由于船、冰分布的随机性和复杂性，加之国内外相关文献资料的极度匮乏，因此很难获取该海域内较为精确的船舶与浮冰的分布函数。本文经过合理的假设和一定的简化，对船舶与浮冰的分布函数进行了如下设定。

对于船舶的分布函数来说，沿航道长度方向，假设所研究的船舶为同一类船型，航速相近，设定船舶在航道截面各个位置处的分布密度是相等的，并呈线性均匀分布，即f（x）=1/L；沿航道宽度方向，由Pedersen船舶碰撞概率计算模型中关于船舶在航道内航行趋势分布公式[6]，其概率密度服从高斯分布，有：

式中：μ为期望值，是表征船舶集中位置的重要参数；σ为标准偏差，是表征船舶在航道内沿宽度方向的各个位置上分布均匀度的重要参数。

因此，根据公式（9）得到船舶在航道上的分布函数为：

对于浮冰的分布函数，沿航道的长度方向，参考图1中冰山在海域3中的分布，可以发现碰撞事故越靠近海域中心越密集，反之越靠近两边越稀疏。这种情形一方面说明浮冰或冰山受风浪、洋流的作用，多数向海域中心集中，另一方面受大陆及岛屿对其漂流的限制，海域边缘的浮冰数量较少。为了简化计算，假设浮冰沿航道长度方向的概率密度分布为抛物线形式，即：

而沿航道的宽度方向，为简便计算，设定沿航道宽度方向各位置处分布密度相等，呈线性均匀分布，即。因此，根据公式（9）得到浮冰在航道上的二维概率密度函数为：

根据以上理论，基于MATLAB软件编制船-冰碰撞概率计算程序。在该程序中，输入参数项为海域面积、浮冰数量、航道的长度和宽度、船长和船宽、浮冰的直径以及浮冰在航道上的分布函数（概率密度函数），船舶在航道上的分布函数及平均值μ和标准偏差σ，程序的输出项为船舶和浮冰在航道上的分布函数的云图以及目标海域的船—冰碰撞几何概率，如图5所示。

图5 船—冰碰撞概率计算程序界面Fig.5 Interface of collision probability calculation program between ship and ice

5 各参数对船—冰碰撞几何概率的影响

根据数值程序计算出的碰撞几何概率的基础上，进一步分析与碰撞几何概率关系密切的四个相关参数的影响，即船舶尺寸、浮冰尺寸以及船舶集中位置μ和分布均匀度σ，在揭示碰撞几何概率与各个参数之间的关系的同时，能够为航海者规避碰撞风险、提高船舶的安全性提供参考。

5.1 碰撞几何概率与船舶尺寸的关系

本文中所研究的船型均为同一船型的成品油船，当浮冰尺寸（d=30 m）与平均值μ（取3 000 m）、标准偏差σ（取1 000）都不变的时候，只改变船舶的等效半径，得到的结果如图6所示。结果表明，碰撞概率P对于船舶尺寸的变化是比较敏感，并随着等效半径的增大而呈线性增长。当船舶等效半径为49.06 m时，碰撞概率P为4.49×10-7；而当等效半径增加近似一倍为95.10 m时，碰撞几何概率P增长了一个数量级，变成了1.326×10-6。这表明，随着主尺度的不断增加，其等效半径亦不断增大，在其他条件均不变的前提下，船舶与浮冰接近继而碰撞的几何概率也在不断增大。因此，对于大型船舶来说，在高纬度冰区海域航行一方面应加强包括冰山在内的浮冰的监测水平，如使用探测雷达和导航卫星，在接近浮冰前能够及时改变航向，躲避碰撞危险。

5.2 碰撞几何概率与浮冰尺寸的关系

当船舶尺寸（l=142.6 m，b=20.8 m）、平均值μ（取3 000 m）、标准偏差σ（取1 000）都不变的时候，只改变浮冰的尺寸，得到的结果如图7所示。结果表明，当其他条件不变时，相对于船舶的等效半径这一参数而言，碰撞几何概率P对于浮冰尺寸的变化更为敏感，随着浮冰直径的不断增大，船舶与浮冰接近继而碰撞的可能性也越来越大。当浮冰直径为30 m时，碰撞几何概率P为4.49×10-7；而当浮冰的直径增加到原来的25倍即750 m时，碰撞几何概率P增长了两个数量级为2.186×10-5。从图7中可看出船—冰碰撞几何概率P与浮冰直径的平方近似成正比。针对这一特性，对于冰区海洋航行的船舶来说，必须重视加强对大型冰山的监测，如配备先进的探测雷达与导航装置，以求最大程度上规避碰撞风险，提高船舶安全的航行性能。

图6 碰撞概率几何与船舶尺寸的关系图Fig.6 Collision probabilities varied with ship dimensions

图7 碰撞几何概率与浮冰尺寸的关系图Fig.7 Collision probabilities varied with ice floes dimensions

5.3 碰撞几何概率与船舶分布函数的关系

（1）碰撞几何概率P与参数μ的关系

根据（16）式可知，μ为表征船舶集中位置的重要参数，数值上体现为船舶偏离航道坐标原点距离的平均值。受风浪、礁石、冰山等各种客观条件的制约，船舶在航道内集中趋势的位置往往不一定在航道中心线处，而是偏离中心线一定的距离。这便是研究参数μ与碰撞概率二者关系的重要依据。

当其他条件不改变，只改变μ的值，得到的结果如图8所示。计算结果表明，当1 000 m≤μ≤3 000 m时，船—冰碰撞几何概率P随着μ值的增大而迅速增大，在μ=3 000 m即船舶分布函数的对称轴与航道中心线重合时，碰撞几何概率P达到最大值。当μ＞3 000 m时，碰撞几何概率P随着μ值的增大而迅速减小。因此，船舶集中趋势的位置在适当避开航道中心线的情况下可以有效降低碰撞几何概率，有利于船舶航行安全。

（2）碰撞概率与σ的关系

根据（16）式可知，σ为表征船舶在航道内沿宽度方向的各个位置上分布均匀度的重要参数。σ越小，说明船舶越集中分布于航道某一区间上；反之则说明船舶沿航道宽度上分布得越均匀。

当其他条件不改变，只改变σ的值，得到的结果如图9所示。结果表明，碰撞几何概率随着σ值的增大而减小。当σ较小时（从100到1 000），碰撞几何概率变化很小；当σ较大时（从1 000到3 200），碰撞几何概率迅速减小至5.417×10-7，仅为图中最大值的68.2%。因此，船舶沿航道宽度方向的分布均匀度越大，越避开浮冰的最大分布区，碰撞几何概率越能有效地减少。这对冰区船舶的安全航行具有重要意义。

图8 碰撞几何概率与μ的关系图Fig.8 Collision probabilities varied withμ

图9 碰撞几何概率与σ的关系图Fig.9 Collision probabilities varied with σ

6 结 语

本文基于二维随机变量概率理论，结合复合体的概念对目标海域内典型航道的船-冰碰撞几何概率的数学模型进行了研究。主要研究结论如下：

（1）本文旨在探索出一种适用于某海域内的船—冰碰撞几何概率计算模型，今后在经过大量海洋观测工作获得更科学的船、冰分布数据的情况下，该数学模型可以适用于一般的船-冰碰撞几何概率计算问题。

（2）船舶尺寸、浮冰尺寸以及船舶分布函数对于碰撞几何概率具有重要影响。碰撞几何概率随船舶尺寸的增大而增大，近似呈线性关系；碰撞几何概率随着浮冰尺寸的增大而增大，与其直径的平方成正比；碰撞几何概率随着参数μ的增大先不断增大后急剧减小；碰撞几何概率随着参数σ的增大而减小。

[1]Liu Zhenhui.Analytical and numerical analysis of iceberg collisions with ship structures[D].Norwegian University of Science and Technology,2011.

[2]冯敬海,等.概率论与数理统计[M].大连:大连理工大学出版社,2006.

[3]冯 昊.空间碎片碰撞概率及其阈值分析和研究[D].北京:中国科学院研究生院,2008.

[4]Hill B T.Ship Collisions with Iceberg Database.Report to PERD:Trends and analysis[R].Institute for Ocean Technology,National Research Council,2005.

[5]http://baike.baidu.com/view/1456842.html[M/OL].

[6]Pedersen Temdrup P,Friis Hansen P,Nielsen L P.Collision risk and damage after collision[C].RINA International Conference on the Safety of Passenger RoRo Vessels,1996.