利用Vondrak平滑处理PPP时间传递的随机噪声

雷 雨，赵丹宁

（1.中国科学院国家授时中心，陕西 西安 710600；2.中国科学院时间频率基准重点实验室，陕西 西安 710600；3.中国科学院精密导航定位与定时技术重点实验室，陕西 西安 710600；4.中国科学院研究生院，北京 100039）

GPS精密单点定位（Precise Point Positioning，PPP）时间传递就是利用国际GNSS服务IGS（International GNSS Service）提供的精密星历与钟差产品，对单台测地型时间传递接收机接收的双频载波相位、码观测量进行解算，获得本地钟与IGS时间尺度（IGST）的差值，两个测站再通过一个简单的差分运算便可实现纳秒至亚纳秒级精度的时间比对［1］。与传统的GPS CV（Common View）方法相比，PPP的优点是测站不受地理位置的限制，它允许任何装备测地型时间传递接收机的时间实验室参加国际原子时TAI（International Atomic Time）的计算。鉴于该方法广泛的适用性以及高传递性能，国际计量局BIPM（Bureau International des Poids et Mesures）于2009年9月将该技术用于国际原子时TAI（International Atomic Time）计算［2］，并定期发布于时间比对链路的FTP数据库ftp：//tai.bipm.org/TimeLink/TAIPPP/。

尽管PPP采用了各种精确的误差改正模型［3］，但解算的钟差值仍受到未模型化误差的影响，另外原子频标本身也受到各种噪声的影响［4］，两者均表现出随机噪声的特性，因此，对钟差数据进行平滑滤波以消除它们的影响是时间传递中一项重要的工作［5］。因为两台钟比对结果的拟合函数形式难以确定，所以使用曲线拟合或滑动平均等方法无法取得良好效果。由于Vondrak平滑方法可以在观测资料拟合函数形式未知的情形下，也能有效地进行平滑［6］，因此，在GPS CV和TWSTFT（Two Way Satellite Time and Frequency Transfer）中经常使用该方法平滑比对结果［7－8］。Vondrak平滑法的关键在于平滑因子的选取［9］。本文将Vondrak平滑法应用于PPP时间传递数据的平滑中，利用观测误差法选取合理的平滑因子，并对实测的钟差比对数据进行平滑处理，从精确度和稳定度两方面衡量平滑效果。

1 Vondrak平滑方法

1.1 基本原理

设有观测资料x（ti）（i＝1～N），Vondrak平滑的基本准则为

其中：

式中：x′（ti）为待求的平滑值，pi为观测值x（ti）的权重。F为Vondrak平滑法的拟合度，S表示对平滑值三阶差分平方和的要求，它反映待求平滑曲线总体平滑程度，故称为平滑度。λ2为待定的正系数，它在平滑过程中调整着拟合度与平滑度之间的关系，在0和∞两个极端边界值之间取值。当λ2→0，要使式（1）取最小，必须使F→0，此时得到的是一条逼近测量数据的光滑曲线；相反，当λ2→∞时，若使式（1）达最小值，必须让S→0，这时对应的是一条十分光滑的抛物线。由此可知，Vondrak平滑法就是寻求介于对观测值绝对拟合与绝对平滑之间的一条折中的曲线，折中的程度由平滑因子ε＝1/λ2控制。

1.2 平滑因子选取

Vondrak平滑法的关键在于如何选取合适的平滑因子，它的大小决定了平滑程度的强弱，ε值越小，平滑度越强，相反地，ε值越大，平滑度越弱。目前，常用的选取ε的方法有交叉检验法［10］、频率响应法和观测误差法［11］，本文使用观测误差法来选取ε。

首先，用不同的平滑因子对观测资料x（ti）进行Vondrak平滑，得到对应的平滑值x′（ti），由式（4）计算出平滑值的均方误差

对一系列的σ（ε），选取使σ（ε）≈σm的平滑因子作为最后确定的平滑因子，其中σm代表观测资料误差。

然而，该方法在观测资料精度未知的情况下无法使用。一种办法是根据均方误差σ（ε）随平滑因子ε的变化规律来选取对应的ε值，即按式（4）计算出对应不同ε的平滑值的σ（ε），以ε为横坐标，σ（ε）为纵坐标绘出σ（ε）的曲线图，观测σ（ε）曲线的变化规律，选取σ（ε）变化最缓慢时所对应的ε作为最终选取的平滑因子。

2 实例分析

2.1 平滑因子选取实例

采用NTSC（中国科学院国家授时中心）与PTB（德国技术物理研究所）、KRISS（韩国标准科学研究院）两条链路之间的PPP时间传递结果，数据从BIPM ftp下载，时间跨度为2011－10－28（MJD 55862）至2011－11－11（MJD 55876）。采用观测误差法，通过分析比较选出较为合理的平滑因子。图1、图2分别为根据观测误差法对PTB－NTSC与KRISS－NTSC结果计算得到的σ（ε）值与ε的对应情况。

图1 根据PTB－NTSC链路得到σ（ε）的变化曲线

图2 根据KRISS－NTSC链路得到σ（ε）的变化曲线

从图中可以看出，当ε取500～600时，σ（ε）的变化较为缓慢，因此取ε＝550。

2.2 平滑结果

为了检验Vondrak平滑效果，仍选取2.1节的数据做实验，从精确度和稳定度两个方面衡量平滑效果。

2.2.1 精确度分析

取平滑因子ε＝550，利用Vondrak平滑法对上述两条链路PPP时间传递系列平滑，原始值和平滑值（为了清楚表示消噪前后的区别，平滑结果下移了5ns）的比较如图3、图4所示，图5、图6给出了局部放大的平滑比较结果。RMS统计结果见表1。

图3 PTB－NTSC链路比对结果平滑比较

图4 KRISS－NTSC链路比对结果平滑比较

图5 PTB－NTSC链路比对结果平滑局部放大图

图6 KRISS－NTSC链路比对结果平滑局部放大图

表1 两条链路平滑前后精确度对照 ns

结合图3～6和表1可以看出，对于变化复杂无规律的PTB－NTSC、KRISS－NTSC比对序列，平滑滤除了比对结果中的随机噪声，比对精度有所提高。

2.2.2 稳定度分析

采用式（5）表达的重叠阿伦方差（Overlapping Allan Variance）来估计PPP时间传递结果所体现的频率稳定度

式中：xi为第i个测量结果（样本），N为样本总数，τ0为样本采样间隔，τ为计算阿伦方差的采样时间，τ＝nτ0。

根据式（5），分别计算上述两条链路比对结果平滑前后的稳定度，结果如表2所示。

表2 两条链路平滑前后稳定度对照

由表2可见，Vondrak平滑对PTB－NTSC、KRISS－NTSC链路1～24h的稳定度有较明显的改善。

3 结 论

Vondrak平滑法可以在拟合函数形式未知的情况下对观测资料进行平滑，其平滑程度取决于平滑因子的选取，因此，平滑因子的选取是Vondrak平滑法的关键。利用观测误差法，选取了较为合理的平滑因子。

通过Vondrak平滑法对不同时间实验室之间的精密单点定位（PPP）时间传递结果进行平滑处理，验证了Vondrak平滑法的有效性，主要得到以下结论：

1）Vondrak平滑法可有效消除PPP传递结果中的随机噪声，不仅可以提高时间传递的精确度，也能明显改善PPP传递所体现的频率稳定度；

2）利用观测误差法选取平滑因子简单直观，即使在观测资料精度未知的情况下也是适用的，但平滑因子的确定还要结合数据处理经验和实际情况综合予以考虑。

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