船舶气囊下水船体梁的结构计算方法

刘宏亮，夏利娟，余 龙

(上海交通大学 海洋工程国家重点实验室，上海200240)

1 概 述

船舶气囊下水近年来得到大范围的应用和推广，并获得一些研究成果，但总体来说，与气囊下水技术相关的理论研究仍处于初步阶段，大多是基于实验的经验公式推导，针对理论求解方法的研究相对较少。本文基于最根本的力学原理，建立气囊下水船体梁的结构计算模型，以期提出一种气囊下水理论研究的新思路。

所谓气囊下水［1］是指:在船舶下水时，先用若干直径较大的支承气囊将船舶抬高，拆除船舶建造时所用的龙骨墩和边墩，再置入滚动气囊，并将支承气囊中的空气放掉，然后利用绞车使承载在滚动气囊上的船舶移向水域。

船舶在船台上由气囊支撑的示意图如图1所示。

图1 气囊支撑船体下水示意图Fig.1 Ship′s launching by gasbags

船舶气囊下水过程中，船体在气囊的支撑下沿滑道下滑，下滑过程中出现的极限载荷可能对船体结构造成损伤，必须校核气囊下水过程中船体结构的安全性。国内有学者提出了一种基于全船结构有限元分析的船体结构和气囊安全性评估方法［2］。该方法基于有限元软件能够获得较好的近似计算结果，但计算工作量较大，同时没有给出解析表达式。本文尝试从最基础的力学模型着手，建立气囊下水过程中船体梁的结构计算模型，推导出船体梁弯曲应力的解析求解表达式，以期对气囊下水过程中船体结构的安全性评估提供理论依据。

2 气囊支撑船体的结构计算模型

船体由按一定间距分布的气囊支承，根据实际的气囊布置情况，力学简化示意图如图2所示。

图2 力学简化示意图Fig.2 Mechanical simplified schematic

气囊等效为弹性支座［3］，支座之间的距离用l1，l2，l3表示，船体的重量载荷为q，q 的大小按照实际载荷沿船长方向的分布情况而定，本文采用均布载荷，左右两端对船体的作用外力矩为M1和M2。

3 气囊支撑等效的弹性系数计算

根据图2所示的力学模型，对船体梁进行结构应力求解的前提是确定气囊等效弹性支座的弹性系数值。国内学者做了大量的相关工作，主要有2 种方法，一种是实验回归公式求解［4］，另一种是基于范德华方程的求解［2］。这2 种方法都只适用于单一直径气囊的求解，本文尝试从受压气囊的力学分析着手，建立通用的适用于任意直径气囊的弹性系数求解公式。

气囊在实际的下水过程中，会先设定好一个要求的工作高度值，然后根据船体重量来判断充气气压的大小;这种计算方法可能导致计算所得的充气气压大于气囊所允许的极限气压值，要进行反复计算;为使理论计算求解更加完善，本文先设定好气囊的充气气压值，计算在承载压力G 下气囊的压缩变形量，从而求解气囊等效弹性支座的弹性系数。

气囊受压后的变形截面图如图3所示。

图3 气囊变形截面图Fig.3 Gasbag′s deformation

气囊内部有一定的充气气压，船体与气囊接触，气囊变形，直到能够支撑起船体重量为止。假设:气囊充气气压为p0，气囊压缩后体内的压力为p，气囊受到的船底板的压力为G，变形前气囊的直径为D，变形后气囊的高度为H (称为工作高度)，受力面的宽度为b，变形前气囊的壁厚为t0，压载变形后气囊的厚度为t，坐标轴如图3所示。

取单位长度的气囊进行受力分析，将变形后气囊两旁的弧线等效为圆弧。

根据气体压缩定理pv=p0v0有

且满足

现在已知G，p0，t0，要求解p，t，H，b，需要4 个不相关的方程式参与求解。考虑到气囊囊壁在变形前后的体积不变:

根据能量守恒定律来建立方程，即气囊变形过程中船体重力势能和弹性势能的总和恒定。船体重力势能减少为VG=G(D-H);弹性势能为气囊的变形能(忽略囊体内气压势能)，所以从应力和应变的角度求解气囊应变能，根据胡克定律气囊应变能可由下面的表达式进行求解:

式中，E 为弹性模量。式中应力的求解分成Z 方向和XY 平面内囊壁法向2 部分。

首先，求初始气压p0情况下的初始应力。

其次，气囊压缩变形后的应力求解。

对于弧线部分，根据图4 的力学分解示意图，建立受力平衡方程。

图4 圆弧段力学分解图Fig.4 Arc part′s mechanics decomposition

计算可得pθ=pH/2 。根据计算结果可知，在圆弧段气囊的应力和水平部分相同，所以

式(5)表示气囊受压应变势能，根据能量守恒定理，其数值与重力势能相等，即可得到第4 个求解方程等式:

至此，式(1)～式(3)和式(6)可以联立求解4个未知求解变量p，t，H，b。经过降次处理等，求解得到工作高度H 的表达式为:

设等效的弹性支座的弹性系数为k，则推导出k的计算表达式为

将H 关于k 的表达式代入式(7)，可以进一步推导出弹性系数k 的表达式为

根据式(9)可以准确地计算不同直径气囊的等效弹性支座的弹性系数。若取D=1.5 m 或1.2 m，初始气囊充气气压p0=0.02 MPa，气囊初始囊壁厚度t0=0.01 m，材料的弹性模量E=2e9 N/m3，则气囊等效弹性系数k 关于承载压力G 的函数曲线如图5所示。

图5 弹性系数k 随G 变化曲线Fig.5 Elastic coefficient k with G

从图5 可以看出，气囊等效弹性支座的弹性系数k 关于承载压力G 呈非线性变化，不同于通常的线性关系;因此在上述气囊支撑船体梁结构计算模型中，弹性系数k 不是已知常数，必须将k 表示为G 的函数表达式代入计算方程进行求解。

4 船体梁计算模型的求解

首先，根据结构计算理论将船体梁离散为节点［5］和梁单元，如图6所示。

图6 单元离散示意图Fig.6 Element discrete

其次，对离散后的单元1，单元2，单元3 建立刚度矩阵［6］有:

式中:E，I 分别为船体梁的弹性模量和截面惯性矩。

因此，结构的总刚度矩阵为:

计算位移矩阵:

［δ］=［v1，θ1，v2，θ2，v3，θ3，v4，θ4］T。

等效节点力矩阵:根据前述等效刚度的求解，等效刚度系数k 是关于承载压力G 的函数表达式。将G=kv 代入式(9)，经过降次解得:

因此，求解等效节点力矩阵为:

建立求解的平衡方程有:

［K］×［δ］=［F］。

求解平衡方程，在求解得到节点力的基础上求解弯矩值M，计入船体梁的剖面模数W，船体梁的弯曲应力求解表达式为:。工程计算中一般关心最大应力值，根据求解得到的节点力，推导出最大弯曲应力为:

至此，通过建立船舶气囊下水过程中气囊支撑船体的结构计算模型，推导出下水过程中船体梁应力的求解公式。将气囊等效成弹性支座并求解相应的弹性系数值k，与一般线性弹簧的弹性系数特点不同，气囊等效的弹性系数k 关于承载压力G 呈非线性函数关系。因此，在推导过程中，必须首先将弹性系数k 表示为变形量v 的函数表达式，最终代入到等效节点力矩阵求解出船体梁最大弯曲应力的解析表达式。

5 计算模型的验证

某船下水采用直径1.5 m 的气囊，气囊工作高度为0.85 m，根据本文前述模型的求解公式，计算船舶气囊下水过程中船舶重心处在滑道末端时船底受力情况，计算结果如表1所示。

表1 计算结果表Tab.1 The calculation’s result

理论求解结果和实验测定值比较如表2 和图7所示。

表2 理论解和实测值比较Tab.2 The comparison result

图7 相对误差示意图Fig.7 Relative error

表2 和图7 的对比结果表明，理论计算值与实测值的误差在12%以内，说明本文提出的计算模型以及理论求解方法是可行的。分析误差的原因可能是由于理论求解过程中对附加弯矩M 和均布载荷q的假设所致。可以预见，模型的求解方法可以推广运用到其他类似的计算工况中。

6 结 语

本文建立了气囊下水过程中船体梁结构计算理论模型。从分析支撑船体气囊的力学特性入手，根据变形量和承载重量的关系得出等效的弹性系数，推导出等效弹性系数k 是关于载荷G 的非线性函数关系;将等效弹性系数k 表示为位移的函数代入平衡方程进行求解，计算船体梁的极大弯矩值，推导出船体梁最大弯曲应力的解析求解公式;最后通过与实测值的比较验证了模型求解的可行性和正确性。本文推导出的船体梁弯曲应力表达式具有计算简便、适用性强的特点，对气囊下水过程中船体结构的应力评估具有较强的实用价值。

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