N阶幻方的构造算法及其代数性质
2013-12-01周云才长江大学计算机科学学院湖北荆州434023
周云才,孙 方 (长江大学计算机科学学院,湖北 荆州434023)
陈 忠 (长江大学信息与数学学院,湖北 荆州434023)
1 N阶幻方的定义
定义1 将自然数1到N2,排列N行N列的方阵,使每行、每列及2条主对角线上的N个数的和都等,这样的方阵称为N阶幻方。
2 N阶幻方的构造算法
对N阶幻方幻方的构造,分为3种情况:N为奇数、N为4的倍数、N为其他偶数(4n+2的形式)。对文献 [1]中的算法进行整理,得到下面的算法:
2.1 N为奇数
N为奇数时,N阶幻方A构造如下:
2.2 N为4的倍数
N=4k时,N阶幻方A构造如下:
2.3 N为其他偶数
N=4k+2时,N阶幻方A构造如下:
(1)利用N为奇数时的算法求一个2k+1阶的幻方矩阵B=(bij)。
(2)构造A:① 当i,j均不超过2k+1时,aij=bij;② 当i≤2k+1<j≤n时,aij=bi,j-2k-1+2(2k+1)2;③ 当j≤2k+1<i≤n时,aij=bi-2k-1,j+3(2k+1)2;④ 当i>2k+1,j>2k+1时,aij=bi-2k-1,j-2k-1+ (2k+1)2。
(3)调整:①将1到k列与第3k+4到n列(当3k+4>n时,此类列为空)的元素的后面2k+1个元素放到前面,前面的2k+1个元素放到后面,即:
以n=10为例,演算过程如下,n=10,k=2:
3 N阶幻方的代数性质
性质1(N阶幻方的秩[1]) 对于利用以上算法构成的幻方,奇数阶幻方是满秩的;4k阶幻方的秩是3;4k+2阶幻方的秩是2k+3。
证明 实对称矩阵ATA的特征值的正根称为实矩阵A的奇异值[2],由此不难证明是n阶幻方的奇异值。
下证其最大性。对于A的任一奇异值σ,有非零向量x= (x1,x2,…,xn)T使得ATAx =σ2x。不妨设max{|x1|,|x2|,…,|xn|}=1,且|x1|=1,于是: