N阶幻方的构造算法及其代数性质

周云才，孙 方 （长江大学计算机科学学院，湖北 荆州434023）

陈 忠 （长江大学信息与数学学院，湖北 荆州434023）

1 N阶幻方的定义

定义1 将自然数1到N2，排列N行N列的方阵，使每行、每列及2条主对角线上的N个数的和都等，这样的方阵称为N阶幻方。

2 N阶幻方的构造算法

对N阶幻方幻方的构造，分为3种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其他偶数（4n＋2的形式）。对文献 ［1］中的算法进行整理，得到下面的算法：

2.1 N为奇数

N为奇数时，N阶幻方A构造如下：

2.2 N为4的倍数

N＝4k时，N阶幻方A构造如下：

2.3 N为其他偶数

N＝4k＋2时，N阶幻方A构造如下：

（1）利用N为奇数时的算法求一个2k＋1阶的幻方矩阵B＝（bij）。

（2）构造A：① 当i，j均不超过2k＋1时，aij＝bij；② 当i≤2k＋1＜j≤n时，aij＝bi，j－2k－1＋2（2k＋1）2；③ 当j≤2k＋1＜i≤n时，aij＝bi－2k－1，j＋3（2k＋1）2；④ 当i＞2k＋1，j＞2k＋1时，aij＝bi－2k－1，j－2k－1＋ （2k＋1）2。

（3）调整：①将1到k列与第3k＋4到n列（当3k＋4＞n时，此类列为空）的元素的后面2k＋1个元素放到前面，前面的2k＋1个元素放到后面，即：

以n＝10为例，演算过程如下，n＝10，k＝2：

3 N阶幻方的代数性质

性质1（N阶幻方的秩［1］） 对于利用以上算法构成的幻方，奇数阶幻方是满秩的；4k阶幻方的秩是3；4k＋2阶幻方的秩是2k＋3。

证明 实对称矩阵ATA的特征值的正根称为实矩阵A的奇异值［2］，由此不难证明是n阶幻方的奇异值。

下证其最大性。对于A的任一奇异值σ，有非零向量x＝ （x1，x2，…，xn）T使得ATAx ＝σ2x。不妨设max｛｜x1｜，｜x2｜，…，｜xn｜｝＝1，且｜x1｜＝1，于是：