定积分在物理学中的应用探讨

梁金荣

(滁州职业技术学院 基础部，安徽 滁州 239000)

定积分在物理学中的应用探讨

梁金荣

(滁州职业技术学院 基础部，安徽 滁州 239000)

“微元、定积分”的应用几乎贯穿了《普通物理学》的整个教学过程，其在物理学中有着极为广泛而重要的应用.利用”数学微元"的思想将变力做功、液体压力、转动惯量和感应电动势等存在的物理问题做了分析、研究，建成微元定积分模型，通过举例分析，总结解决物理学问题的“微元积分”法.

微元法；定积分；物理学应用

0 引言

物理学中应用定积分法去解决实际问题是非常广泛而重要的，运用“数学微元”的思想抽象成定积分去求解物理学相关的问题，是大学物理学教学的重难点，不容易被学生理解和掌握.大学物理学中，无论是质点力学部分的变力做功，还是刚体绕定轴转动的转动惯量、液体的压力及电磁学部分线圈中的感应电动势等等，都要用到定积分去解决问题.学生在中学阶段只会运用简单的数学运算去分析物理问题，可进入大学物理学习阶段后，学生如何由简单的数学运算转变到用定积分方法去解决复杂的物理问题就显得非常重要了，也成为摆在物理教师面前的一个重要研究课题.

1 定积分在大学物理学中的应用分析、研究

“微元、定积分”法是一种辨证的思想方法，它包含了有限与无限的对立统一，近似与精确的对立统一.[1]它把复杂的物理问题进行时间、空间上的有限次分割，在有限小的范围内进行近似处理，然后让分割无限的进行下去，局部范围无限变小，那么近似处理也就越来越精确，从而在理论上得到精确的结果.而微元、定积分的方法就是把物理学中的复杂问题简单化，利用分割法分许多无穷小段，把无限个小微元之和求出来，再用定积分求结果.在《普通物理学》中一些实际问题都需要用定积分来解决.如物理学力学部分“变力沿曲线轨道做功”问题，就要考虑怎样转化为恒力在直线上所做功的问题，即“化曲线为直线，将变力做功转化为恒力做功”.[2]首先设想把轨道曲线分割成许多足够小的无穷小段，画一简图找出位移元dr，在位移元dr上，在无穷小段上力的大小和方向可近似看作不变.其次，把所有无穷小段所做功的微元之和，用定积分的方法再求得总功.可以说，这主要是深化学生对定积分概念、性质的认识并能灵活运用这一工具去解决物理学实际问题.化整为零的“数学微元”思想不仅贯穿于整个大学物理的实际应用，也丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维.

2 定积分在物理学中的应用例证

下面举例说明“微元、定积分法”在物理学中的一些应用，重点说明在处理物理学方面的问题可以应用定积分来解决.

2.1变力做功

学习物理学这门公共基础课程，我们知道：物体(可看作质点)在恒力F的作用下，沿力的方向做直线运动，发生了一段位移S，这时恒力对物体所做的功是A=FScosθ (θ 是力与位移之间的夹角)，但在实际问题中，物体在发生位移的过程中所受到的力常常是变化的，这就需要考虑变力做功的问题.

例1 弹簧在拉伸过程中，所需要的力与弹簧的伸长量成正比，即F=kx(k是比例系数).已知当弹簧拉长0.02m时，需力20N，要使弹簧伸长0.05m，求外力所做的功.

解:分析思路：(1) 由于x=0.02m时,F=20N.代入F=kx,得k=1000N/m.从而弹性力为F=1000x是一个连续变力，所求的功是区间[0,0.05]上非均匀分布的整体量，所以可以用定积分来求解.

(2)利用微元法，由于弹性力F=kx是连续变化的，我们可以设想在微小区间[x,x+dx〗上弹性力F=kx保持不变，按恒力(力的大小和方向不变)做功公式A=FScosθ 得出这一小段上变力做功的近似值dA.物体沿Ox轴正方向运动，其位移dxgt;0，θ=0° .如图1所示：建立坐标系，变力使物体从微小区间的左端点x处移动到右端点x+dx处，所做功的近似值，即功微元为：dA=F(x)dx.

(3)将微功dA从0到0.05求定积分，得F(x)在整个区间上所做的功为：

图1

由例1我们可以看出，想把复杂的问题简单化，就要把物理学问题中出现变力做功问题转化成恒力做功问题，先求出微元量即恒力在直线段上所做的微功，再利用积分的方法求和，从而求出变力在整个物理过程中所做的总功.

2.2液体的压力

我们学习物理学知道,在液面下深度为h处的压强为P=ρgh(其中ρ是液体的密度,g是重力加速度).如果有一面积为S的薄板水平地置于深度为h处,那么薄板一侧所受的液体压力计算F=PS，但在实际问题中,常常碰到计算薄板竖直地放置在液体中时，其一侧所受到的压力如何如何？由于压强P随液体的深度h变化而变化,所以薄板一侧所受的液体压力就不能简单地应用公式F=PS=ρghS来计算了,可以考虑用定积分的“微元法”去求解.

例2 修建一道形状是等腰梯形的闸门，它的两条底边各长6m和4m，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.[3]

图2

⑵取近似，找出微元.在x∈[0,6]上任意取一微小区间[x,x+dx]，该区间上小曲边平板所受的压力可近似地看作长为y,宽为dx的小矩形水平地放在距液体表面深度为x的位置上时，压力微元为

⑶找出整量，取积分.从而求出闸门一侧所受水的压力为：

≈8.23×105N.

一般来说，液体压力的计算公式为：

2.3转动惯量

例3 求质量为m、长为l的均匀细棒对转轴通过棒的中心并与棒垂直的转动惯量？

图3

从以上几个例题用定积分的微元法在解决物理学的实际问题时，我们通常按以下几个说明步骤来进行：

(1)根据实际问题确定积分变量，恰当地选取坐标系，画一个草图，求出相应的积分变化区间；

(2)根据物理学实际问题的性质和要求构造出积分元素，选择好变量.如何做到在具体问题中选取的微元："如微功、微压力、微转动惯量等能近似处理成最简单、最基本的物理模型，有利于对实际问题的分析和计算.

(3)求出所求量的积分表达式，最后再计算出它的值.

2.4线圈中的感应电动势

我们知道，物理学为了定量描述某种物理现象和规律而引入每个物理量，并且这些物理量都有明确的物理意义.在物理学中出现的物理公式的微分形式也不能简单地从数学角度去分析掌握，最重要的是要求学生理解其物理含义，注意区分.因为在物理学中同一个微分形式所表示的物理含义却是不同的.现举例说明如下：

例4 如图4所示，通电长直导线与矩形线圈共面，且线圈的一边与长直导线平行.当长直导线中通有电流I=I0sinωt时，求t=0时线圈中感应电动势.

图4

①

接着求得通过矩形线圈的磁通量：

②

②式中dφ表示的是一微小量，微元面ds上的磁通量.最后由法拉第电磁感应定律分析磁通量的变化率，从而得出线圈中感应电动势的大小为：

③

③式中dφ表示的是一个微小变化量，微小时间段dt内磁通量的变化.

3 结束语

本文通过借助定积分法来解决物理学中常见的棘手问题，进而分析了怎样应用定积分的“数学微元”思想来解决物理学问题的新思路.定积分在大学物理学中的应用，体现的不仅仅是运用数学工具去解决中学阶段难以解决的物理学问题，更重要的是帮助学生正确地从高等数学的角度去理解物理概念、规律，形成物理观念及物理量中“数学微分”定积分形式的物理意义，进而提高了兴趣，增强了学习信心，使物理学的教学由“无形到有形”，更加具体、灵活、深刻.

[1] 黎定国,邓玲娜,刘义保,等.大学物理中微积分思想和方法教学浅谈[J].大学物理,2005(12)：52-54.

[2] 张广龙 ,胡 浩.高等数学应用教程[M].西安：西北工业大学出版社,2012:63-64.

[3] 李遒伯.物理学[M].北京：高等教育出版社,2004:113.

[4] 李 玲. 高等数学在不同学科领域中的应用[J].四川文理学院学报，2011(2):149-151.

[5] 王新民,王富英.高效教学中的知识、方式与评价[J].内江师范学院学报,2011(6)：76-83.

[责任编辑邓杰]

ApplicationoftheDefiniteIntegralinPhysics

LIANG JIN-rong

(Chuzhou Vocational and Technical College,Chuzhou Anhui 239000,China)

“Infinitesimal” and “the definite integral” are almost concerned of the whole process of ordinary physics teaching,which has a very extensive and important application in physics. In the article, the physical problems of “the variable force power”,“liquid pressure”,“moment of inertia” and “induced electromotive force” are researched and built into infinitesimal model of definite integral. Then the “infinitesimal integral” method is argued to solve the physical problems by examples and analysis.

differential method;integral;physics applications

2013-03-13

梁金荣(1980—)，女，安徽灵璧人.硕士研究生，主要从事物理学研究.

G642

A

1674-5248(2013)05-0129-04