与全等三角形有关的探索题的类型及其解法

史立霞　秦振

全等三角形中的探索题，是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的问题.由于这类问题的知识覆盖面大，综合性强，方法灵活，再加上题意新颖，要求同学们必须具有扎实的基础知识和较强的数学能力，才能顺利解题.

一、条件探索型

条件探索型题，是指给出问题的结论，但没有给出或部分给出题目的条件，要求给出或补充使问题结论成立的条件.解这类题采取的策略是执果索因，首先要从结论出发，考虑结论成立时所要满足的条件，从而得到答案.

例1 如图1所示，已知CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD.请补充一个条件，使这两个三角形全等，并给出证明.

图1

分析： 根据三角形全等的定义及判定，可知题中没有对应边相等，因此可补充一组对应边相等.

解：补充一个条件：AC=BD（或AE=BF或CE=DF或AF=BE），可使△CEA≌△BDF.下面以AC=BD为例证明如下：

因为CE⊥AB， DF⊥AB，

所以∠CEA=∠DFB=90°.

因为AC∥BD，所以∠A=∠B.

又因为AC=BD，

所以△ACE≌△BDF（AAS）.

评注：解条件探索型的问题，采用的是“逆向思维”的方法，解此类问题需要同学们有扎实的基本功及灵活处理问题的能力.

二、结论探索型

结论探索型题，这类问题的基本特征是给出条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解这类问题通常先假定其结论存在，再进行计算、推理，若能推导出符合条件的结论，则表示结论存在；若推出矛盾的结果，则结论就不存在.

例2 用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时，如图2-1所示，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时，如图2-2所示，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

分析： （1）根据题意可得△ABE≌△ACF，因此BE=CF；（2）可用理由（1）的方法证明.

解：（1）BE=CF.

证明：在△ABE和△ACF中，

因为∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，

所以∠BAE=∠CAF.

因为AB=AC，∠B=∠ACF=60°，

所以△ABE≌△ACF（ASA）.所以BE=CF.

（2）BE=CF仍然成立.

根据三角形全等的判定定理，同样可以证明△ABE≌△ACF.BE和CF是它们的对应边，所以BE=CF.

评注： 本题要求在三角尺的位置变化中，悟出其内在的变化规律，作出猜想并加以证明，对思维能力要求较高，突出了对探索、归纳、推理能力的考查.

三、规律探索型

规律探索型题是指在一定条件下，需探索发现有关对象所具有的规律性或不变性的问题，其解决问题的方法是通过观察、归纳、类比、分析等思维方法，概括出具有一般性的规律或结论，然后给出证明.

例3 如图3-1，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.

探究：（1）线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明.

（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，再探索线段BM、MN、NC之间的关系.在图3-2中画出图形，并说明理由.

图3-2

分析：（1）根据题意，分析、观察，寻找三者的等量关系，可得BM+NC=MN.

（2）根据题意，可以把点M、N特殊化，探讨BM、MN、NC之间的关系.

解：（1）BM+CN=MN.

证明：如图3-1所示，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1.

因为∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，

所以∠ABD=∠ACD=∠DCM1=90°.

因为BD=CD，

所以Rt△BDM≌Rt△CDM1.

所以∠MDB=∠CDM1，DM=DM1.

所以∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠CDM1=120°.

又因为∠MDN=60°，所以∠M1DN=∠MDN=60°.又DN=ND，所以△MDN≌△M1DN.所以MN=NM1=NC+CM1=BM+NC.

（2）NC-BM=MN.

证明：如图3-2所示，在CN上截取CM1=BM，连接DM1.

因为∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°.

所以∠DBM=∠DCM1=90°.

因为BD=CD，

所以Rt△BDM≌Rt△CDM1.

所以∠BDM=∠CDM1，DM=DM1.

因为∠BDM+∠BDN=60°，

所以∠CDM1+∠BDN=60°.

所以∠M1DN=∠BDC-（∠CDM1+∠BDN）=120°-60°=60°.

所以∠M1DN=∠MDN.

因为ND=ND，所以△MDN≌△M1DN.

所以MN=NM1=NC-CM1=NC-BM.

评注：解规律探索型题，可以根据题意把问题特殊化，得到结论后，再证明结果的正确性.当然，这样得到的结果也有可能是错误的.另外，本题中的问题（1）是为问题（2）作铺垫，提供解题的方向，而探索、猜想、得出结论才是题目的重点和难点.因此，要正确地审题、分析、归纳，然后探索出结果.

四、存在探索型

存在探索型题，一般是在确定的条件下判断某个数学对象是否存在.解决这类问题的策略是先假设需要探索的对象存在，从条件和假设出发进行运算、推理，若出现矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定存在.

例4 如图4所示，DE是△ABC的中位线，AF∥BC，在射线AF上是否存在点G使△EGA与△ADE全等？若存在，请先确定点G，再证明这两个三角形全等；若不存在，请说明理由.

分析：由于DE是△ABC的中位线，可得∠EAG=∠AED.过点E作AB的平行线，交AF于点G，可得∠AEG=∠EAD.从而可得△EGA≌△ADE.

解：存在.

过点E作AB的平行线，交AF于点G.

因为DE是△ABC的中位线，

所以DE∥BC.

又因为AF∥BC，所以DE∥AF.

所以∠EAG=∠AED.

因为EG∥AB，所以∠AEG=∠EAD.

又因为AE=AE，所以△EGA≌△ADE.

评注：此题采用了先假设再求解的方法，即：假设存在—演绎推理—得出结论.