活用课本习题 促进思维发展

刘兰

在平时的教学中，以现行课本习题为原型引导学生从题设、

结论及图形结构等方面进行多方位、多角度的探究、演变、拓展，挖掘其蕴藏的深层内涵，既可以激发学生学习的热情与兴趣，又可以促进学生思维能力的发展，以下是本人在教学中遇到的一个问题，处理不当之处，还请各位同仁批评指正.

北师大版八年级下册教材第218页A组第7题：

已知：如图，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD

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一、捕捉信息，触发联想，一题多解，培养学生思维的发散性

利用平行线的“三线八角”性质，结合图形结构，作辅助线，有以下几种思路：

思路一：如图1，过点C作MN∥AB，利用平行传递性MN∥ED，再由两直线平行，内错角相等，

得∠ABC=∠BCN，∠CDE=∠NCD，

则∠BCD=∠BCN+∠NCD=∠ABC+∠CDE，

即∠ABC+∠CDE=∠BCD.

思路二：如图2，延长DC交AB于点F，利根据两直线平行，内错角相等，∠CDE=∠BFC，

再由三角形的外角等于与它不相邻的两内角和，得∠BCD=∠BFC+∠ABC=∠CDE+∠ABC，即∠ABC+∠CDE=∠BCD.

思路三：如图3，连接BD，根据两直线平行，同旁内角互补，∠ABD+∠BDE=180°，即∠ABC+∠CBD+∠CDB+∠CDE=180°，再结合三角形的三个内角和为180°，得∠BCD+∠CBD+∠CDB=180°，不难得出∠ABC+∠CDE=∠BCD.

二、变换题设及图形结构，探究问题的结论，培养学生思维的广阔性

1.改变点C的位置，其余不变，探究问题的结论：

变式一：如图4所示，∠ABC、∠CDE、∠BCD之间有怎样的关系？

分析：运用与上面类似的方法，容易得到：

∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°.

变式二：如图5所示，三个角有怎样的等量

关系？

分析：因为AB∥ED，所以∠ABC=∠BFD，根据三角形的外角等于与它不相邻的内角和，得∠BFD=∠CDE+∠BCD，即∠ABC=∠CDE+∠BCD.

变式三：如图6所示，此时三个角又有怎样的关系？

分析：因为AB∥ED，所以∠CDE=∠AFC，

由三角形的外角等于与它不相邻的两内角和，知∠AFC=

∠ABC+∠BCD，所以∠CDE=∠ABC+∠BCD.

2.点C的位置不变，将原题中的平行线改相交线，即AB与ED相交于一点A，探究结论：

变式一：如图7所示，若已知∠A、∠B、∠D求∠C.

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分析：此题解法类似于原题，也有三种基本思路，此处仅列举一种，连接AD并延长，由三角形外角性质得：∠BCF=∠B+∠BAC，∠FCD=∠D+∠DAC，又知，∠BAC+∠DAC=∠BAD，所以∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠B+∠D+（∠BAC+∠DAC）=∠B+∠D+∠BAD，即∠C=∠A+∠B+∠D.

变式二：如图8，若AB、CD相交于点F，已知∠A、∠B、∠D求∠C.

分析：利用三角形外角性质得：∠BFC=∠B+

∠C=∠A+∠D，所以∠C=∠A+∠D-∠B.

变式三：如图9，若点A在BD的另一侧，已知∠A、∠B、∠D，求∠C.

分析：连接AC，利用三角形三个内角和为180°，可以很快得到∠C=360°-（∠A+∠B+∠D）.

三、利用简单的基本图形，解复杂几何问题，渗透化归思想，培养学生思维的灵活性

1.如图10所示，AB∥GF，你能得到什么结论？

分析：过点D作HD∥AB，直接利用书中题目的结论，∠C=∠B+∠CDH，∠E=∠HDE+∠F，所以，∠C+∠E=∠B+（∠CDH+∠HDE）+∠F=∠B+∠D+∠F，即∠C+∠E=∠B+∠D+∠F.

2.如图11所示，又能得到什么结论？

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分析：连接AD，把图7作为基本图形，得∠C=∠BAD+∠B+∠CDA，∠E=∠ADE+∠DAF+∠F，所以∠C+∠E=∠BAD+∠B+∠CDA+∠ADE+∠DAF+∠F=（∠BAD+∠DAF）+（∠CDA+∠ADE）+∠B+∠F=∠A+∠D+∠B+∠F，即∠C+∠E=∠A+∠B+∠D+∠F.

综上所述，我们不难发现许多试卷上考查的题目只是课本中的典型例题、习题、想一想中的命题的拓展、渗透、综合与提高。因此，在平时的学习过程中，我们应加强典型题目的探索与研究，引导学生进行开放式的研究，提高学生知识迁移、运用能力，不断促进学生思维的发展，只有这样才能以不变应万变。

（作者单位 江苏省常州市第八中学）