多线性位势型算子的一类加权不等式

郭景芳， 王会敏， 滑军丽

(1.河北科技大学理学院，河北石家庄 050018；2.河北师范大学数学与信息科学学院， 河北石家庄 050024)

设Φ是Rn上的非负局部可积函数，满足下面弱增长条件：存在常数δ,c>0,0≤ε<1,使得对所有k∈Z有

(1)

对可测函数f，定义位势型算子TΦ：

对于Φ满足条件(1)的位势型算子ΤΦ，Pérez给出了强型(p,q)双权不等式成立的充分条件[1]。

下面给出与Young函数有关的一些基本概念及记号，详见文献[3]。如果B：[0，∞)→[0,∞)为凸的递增连续函数，满足B(0)=0,B(t)→∞,t→∞,则称B为Young函数。

给定一个Young函数B,Q为Rn中的方体，定义f在Q上的平均Luxemburg范数为

(2)

本文主要用到的Young函数是B(t)=t(1+log+t)δ,δ>0。对于这个Young函数，本文表示f在方体Q上的Luxemburg范数为‖f‖L(logL)δ,Q,Orlicz极大函数为ML(logL)δf。

1 几个引理

为得到本文的主要定理，先给出几个引理。

引理1[2]设Φ为满足条件(1)的非负局部可积函数，令f和g为具紧支集的非负有界函数，μ是非负且紧支集上有限的测度，令a>2n则存在一列方体{Qk,j}和一列互不相交的子集{Ek,j},Ek,j⊂Qk,j,使

(3)

对所有k,j成立，且

(4)

(5)

证明本文利用不等式(4)及v∈RH∞,其中g=w,dμ(x)=v(x)dx:

由{Ek,j}的性质，有v(Qk,j)≤Cv(Ek,j),又由于集族{Ek,j}互不相交且Ek,j⊂Qk,j有：

引理3[4]令g为使Mg a.e有限的任一函数，则(Mg)-α∈RH∞,α>0。

2 主要结论

1)若0

(6)

成立；

2)若p>1,则对任意的权函数w，存在常数C使得：

(7)

成立。

证明首先证明0

其中对任意δ>0，本文用到了Lebsgue微分定理。由于文献[6]有下列结论：若w∈A1,则w-1∈RH∞;若w∈RH∞,则wλ∈RH∞,λ>0。本文对权M(gδ)-1/δ用引理2和引理3,继续不等式

那么只需证明‖M(gδ)-1/δ‖Lp′(w)≥‖g-1‖Lp′(Mw),因为p′<0，这等价于证明

但若选择0<δ

1,由Fefferman和Stein的经典加权不等式[7-10]:

立即可得式(6)。

当p=1时由引理2(v≡1)即可得式(6)成立。

下面证明p>1的情形。

首先证明下面的不等式成立，

(8)

由p=1得：

由一般Hölder不等式,对于适当的Young函数Ψ待定，继续不等式

所以有式(7)成立。此时定理1证完。

参考文献/References：

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