无级变速传动中非圆齿轮节曲线的改进研究

孙国兴， 孙传琼， 刘雍德

(湖北汽车工业学院机械工程系， 湖北 十堰 442002)

非圆齿轮传动机构属于变传动比传动[1-2]，应用多对非圆齿轮机构进行适当组合可实现脉动式无级变速传动．Dooner和Seireg推荐出一种能够产生锯齿型速比的非圆齿轮传动的无级变速器[3]；周祖焕于1995年设计出了心形非圆齿轮无级变速装置[4]，之后在2002年又设计出鱼形非圆齿轮无级变速装置[5]．这三种非圆齿轮无级变速传动装置中，非圆齿轮节曲线都具有尖点，节曲线不光滑，导致高速传动时产生很大的刚性冲击和振动，在工程使用中存在较大的局限性．针对此问题，本文在非圆齿轮节曲线方面进行改进．

1 非圆齿轮的节曲线方程

(1)

可得到主动非圆齿轮1的节曲线方程

(2)

由式(1)、(2)可得到从动非圆齿轮2的节曲线方程为

(3)

从式(2)、(3)可见，只要两轮中心距一定和已知传动比函数，非圆齿轮的节曲线即可被确定下来．

图 1 非圆齿轮传动及其节曲线

2 非圆齿轮传动比函数的改进

从非圆齿轮节曲线方程来看，非圆齿轮的传动比函数决定了其节曲线的形状．因此，要消除非圆齿轮节曲线的尖点就要改进传动比函数．

在非圆齿轮无级变速传动中，非圆齿轮的位置函数是以主动非圆齿轮转角为自变量的指数函数[2,6]，当两对非圆齿轮机构组合在一起传动时，其总传动比就是它们传动比函数的积或者是商，就会出现一段平稳的传动比，这就是非圆齿轮无级变速传动的原理[6-8]．

在非圆齿轮无级变速传动中，采用一对非圆齿轮的位置函数是以转角为自变量的指数函数

馆藏202件作品中，油画55件（56幅），水彩57件，书法50件，其它国画、手稿、漫画等40件（43幅）。各类作品介绍及问题说明如下：

φ2=k·(mφ1-1).

(4)

式中：φ1为主动非圆齿轮转角，rad；φ2为从动非圆齿轮转角，rad；k、m均为待定常数，且k>0、m>0，于是对式(4)两边求导可得到

(5)

相应的传动比函数为

(6)

在非圆齿轮传动中，只采用式(6)会使非圆齿轮传动不能完成整周的连续转动，而要完成整周运动，就要添加一段函数形成整周运动．所以在一个整周中采用分段函数组合的非圆齿轮传动比函数，如：

(7)

其中b为根据工作条件需要确定的分界点；函数f(φ1)可以根据工作需要取三角函数、多项式函数等任意的函数形式．

由于采用多段函数，就要考虑函数在衔接点处的连续平滑性，以消除传动中的尖点，即在衔接点处传动比函数必须连续可导，故应满足以下边界条件：

1)函数两端点的函数值相等

(8)

(9)

2)函数两端点处的一阶导数也应相等

(10)

(11)

3)由于非圆齿轮传动是一对齿轮，则它们的圆心角之和应等于2π，也就是非圆齿轮2的圆心角之和为2π

将式(6)传动比函数代入上式可得到

(12)

3 非圆齿轮传动比函数的确定

(0≤φ1≤4.2).

(13)

在这里f(φ1)采用正弦函数以形成整周的传动

i12=f(φ1)=C0·sin[C1·(φ1-C2)]+C3，

(4.2≤φ1≤2π).

(14)

同时式(13)、(14)还要满足式(8)-(12)．式(13)、(14)中共有k、C0、C1、C2和C3是待定常数，可将式(13)、(14)带入式(8)-(12)，得到的方程式如下：

C0·sin[C1·(4.2-C2)]+C3=

(15)

式(15)为关于C0、C1、C2、C3、k的非线性方程组，其方程组的解不唯一，取较为合适的一组解为

将得到的C0、C1、C2、C3、k值带入式(13)、(14)，可得到节曲线封闭的非圆齿轮传动比函数，如式(16)，图2为其传动比曲线．

(16)

图 2 两个周期的改进后的传动比i12变化曲线

4 非圆齿轮的节曲线

将传动比函数带入式(2)、(3)就可以得到非圆齿轮的节曲线方程，中心距初步定为a=150 mm，在Matlab环境下进行编程，绘制出非圆齿轮的节曲线(图3、4)．

图 3 非圆齿轮1的节曲线

图 4 非圆齿轮2的节曲线

由图3、4可见，改进后的非圆齿轮节曲线已经不再有尖点存在，变得平滑连续．

5 结束语

针对非圆齿轮无级变速传动中非圆齿轮节曲线不平滑有尖点的问题，通过用多段函数组合的方法对传动比函数数学模型进行了改进，从而得到连续平滑的非圆齿轮节曲线，理论上减小了传动中的刚性冲击和振动，可提高非圆齿轮传动的平稳性，扩大非圆齿轮传动在工程上的应用范围．

[参考文献]

[1] 李福生. 非圆齿轮与特种齿轮传动设计[M]. 北京：机械工业出版社，1983.

[2] 吴序堂，王贵海. 非圆齿轮及非匀速比传动[M]. 北京：机械工业出版社，1997.

[3] Dooner D，Yoon H D，Seireg A.降低齿轮型无级变速器封闭功率影响的运动研究[J].传动技术，2000(1)：38-47.

[4] 周祖焕. 心形齿轮以及其传动装置和自行车无级内变速轴：中国，94102177.7 [P].1995-09-13．

[5] 周祖焕. 鱼形齿轮与自行车无级变速箱：中国，02117182.3[P]. 2002-10-23.

[6] 周祖焕. 齿轮无级变速原理[J]. 机械传动，2001(2)：31-33.

[7] 孙国兴，刘雍德. 一种新型非圆齿轮无级变速传动的运动学分析[J].湖北汽车工业学院学报，2005,19(1)：9-12.

[8] 孙国兴，孙传琼，刘雍德. 非圆齿轮在无级变速上的应用展望[J].装备维修技术,2009(1)：1-4.