一类具有强Allee效应的捕食－食饵模型正平衡态解的存在性

臧 辉，聂 华

（陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安710062）

群居有利于物种的生长和存活，但过分稀疏和过分拥挤都可阻碍其生长，从而对物种的生长繁殖产生副作用，每一物种都有自己最适宜的密度，这就是所谓的Allee效应［1］．近年来，具有Allee效应的物种捕食模型得到广泛研究．文献［2］研究了食饵具有强Allee效应的常微分方程模型，对该模型建立了全局双稳定分析；文献［3］利用上下解方法讨论了具有强Allee效应的反应扩散模型，得到了正平衡态解的存在性．本文研究下面具有强Allee效应的捕食－食饵模型：

初边值条件为

其中，u、v分别表示食饵和捕食者的密度，参数a、m、α、b、d均为正常数且0＜2b＜1，α为u的内禀增长率，b为反映Allee效应强度的参数，d为v的增长率为HollingⅡ型的功能反应函数，m为相互作用系数，a为半饱和系数．由文献［4］知，对于模型（1），只有当食饵密度超过反映Allee效应强度的参数b时，食饵才能增长．文献［4］研究了齐次Neumann边界条件下模型（1）的动力学性质，证明了解的全局存在性，确定了解的全局渐近行为．研究结果表明，在齐次Neumann边界条件下，模型（1）的半平凡解为（b，0）、（1，0）、（0，d），其性质简单、明确．然而，在Dirichlet边界条件下，模型（1）形如（u，0）形式的半平凡解性质复杂，为研究模型（1）的平衡态解带来了困难，导致目前关于Dirichlet边界条件下，具有强Allee效应的捕食 －食饵模型的研究还比较少．本文研究Dirichlet边界条件下模型（1）的动力学性质．为此，研究如下平衡态系统

其中0＜b＜1／2．

1 局部分支解的存在性

引理1［5］设q（x）∈C1［－1，1］，则特征值问题的所有特征值满足0＜λ1（q）≤λ2（q）≤λ3（q）≤ …→ ∞，相应的特征函数分别为φ1，φ2，φ3，…，其主特征值

是单重的．而且有如下比较定理：若q1≥q2，则λj（q1）≥λj（q2）；若又有q1≢q2，则λj（q1）＞λj（q2）．记λ1＝λ1（0）．

考虑非线性边值问题

由文献［5］的定理3．3．28知，如果d≤λ1（q），那么0是方程（4）的唯一非负解；如果d＞λ1（q），方程（4）有唯一正解．特别地，当q（x）≡0时，如果d＞λ1，那么非线性边值问题

有唯一正解，记为θd，且θd关于d是单调递增的，并有θd＜d．显然，当d＞λ1时，系统（2）存在半平凡解（0，θd）．

考虑半线性边值问题

其中0＜b＜1／2是反映Allee效应强度的参数．文献［6－8］对方程（6）正解的存在性及个数进行了研究，所得结果如下：

引理2［6］设0＜b＜则存在α＊＞0，使得如下结论成立：

（ⅰ）当α＜α＊时，边值问题（6）只有0解；

（ⅱ）当α＝α＊时，边值问题（6）有1个非平凡解；

（ⅲ）当α＞α＊时，边值问题（6）有2个非平凡解，分别记为u＊1、u＊2，且u＊2关于α单调递增，u＊1关于α单调递减

（ⅰ）若α＞α＊，则系统（2）存在3个半平凡解（u＊1，0）、（u＊2，0）、（0，θd），且u＊1＜u＊2；

（ⅱ）若α＝α＊，则系统（2）仅存在2个半平凡解（u＊0，0）、（0，θd）．

引理3［7］设0＜b＜1）u＊2－b），则对于上述α＊＞0，当α＞α＊时，L10、L0均非奇异，且L0的所有特征值均小于0．

下面给出系统（2）正解的先验估计．

引理4 若（u，v）是系统（2）的正解，且u≢0，v≢0，0＜b＜1／2，则

（ⅱ）如果d＞λ1，那么v≥θd；

（ⅲ）存在M＞0，使得d＜M．

证明 （ⅰ）由极值原理知，u、v＞0（x∈（－1，1））．假 设 存 在x0∈ ［－1，1］使 得u（x0）＝，且u（x0）＞1，则x0∈ （－1，1），从而u″（x0）≤0．又 因 为u″（x0）＝au（x0）（u（x0）－b）（1－u（x0））＞0，矛盾．因此u≤1．下面证明v≤d＋．假设存在x1∈ ［－1，1］使得v（x0）＝，且v（x1）＞，则x1∈ （－1，1），从而v″（x1）≤0．另一方面－v″（x1）＝＜0，故v″（x1）＞0，矛盾，因此v≤d＋

（ⅱ）当d＞λ1时，v和0为方程（5）的一对上下解，且v≥0，θd为（5）的唯一解，故由文献［5］的定理3．3．2知，v≥θd．

（ⅲ）假设存在di→ ∞ 及（ui，vi）为系统（2）在d＝di处的正解，则由（ⅱ）知，vi＞θdi．令K0⊂（－1，1），则由文献［9］的性质6．5知，θdi→ ∞，x∈K0，故vi→ ∞，x∈K0．

由于ui＞0从而－bα1）αu）i，但是矛盾，因此d有界．

令X＝C10［－1，1］×C10［－1，1］，固定α＞α＊，下面取d为分歧参数，从非负半平凡解分支｛（d；u＊2，0）：d＞0｝出发，构造系统（2）的正解．

定理1 设α＞α＊，0＜b＜1／2，则（λ；u＊2，0）为系统（2）的分歧点，且在（λ；u＊2，0）的邻域内，系统（2）存在正解，其中

证明 定义算子F（d；u，v）：R＋×X→X为

记F（λ；u，v）在（u＊2，0）处的Fréchet导数为L（λ；u＊2，0），则

其中fu（u＊2，0）＝α（－3u＊22＋2（b＋1）u＊2－b），

其中L0由引理3给出．若χ≡0，则由引理3知ω≡0，矛盾，故χ＞0．令λ相应的主特征函数为χ1，且假设χ1＞0，因此χ＝χ1，从而ω1＝且由广义极大值原理知ω1＞0，所以N（L（λ；u＊2，0））＝span｛（ω1，χ1）｝．另一方面，L（λ；u＊2，0）的伴随算子

L（λ；u＊2，0）（ω，χ）＝0等价于

显然，ω≡0，χ＝χ1，从而N（L＊（λ；u＊2，0））＝span｛（0，χ1）｝．由Fredholm选择公理知

因此codimR（L（λ；u＊2，0））＝1．令L1（λ；u＊2，0）＝，则

至此，简单特征值分歧定理的条件得到满足，故由文献［10］知，存在充分小δ＞0及C1连续曲线（d（s）；φ（s），ψ（s））：（－δ，δ）→R×X，使得d（0）＝λ，φ（0）＝0，ψ（0）＝0，且（d（s）；u（s），v（s））＝（d（s）；u＊2＋s（ω1＋φ（s）），s（χ1＋ψ（s）））满足F（d（s）；u（s），v（s））＝0，其中φ（s）、ψ（s）∈Z，X＝Z⊕N（L（λ；u＊2，0））．因此（d（s）；u（s），v（s））（｜s｜＜δ）是系统（2）的解分支，其中u（s）＝u＊2＋s（ω1＋φ（s）），v（s）＝s（χ1＋ψ（s））．若取0＜s＜δ，则它恰好是（2）的正解．而且，在分歧点（＾λ；u＊2，0）附近的非负解要么在分支｛（d；u＊2，0）：d＞0｝上，要么在分支｛（d（s）；u（s），v（s））：0＜s＜δ｝上．

2 局部分支解的延拓

本节借助于文献［11］中的全局分歧理论方法，将定理1给出的局部分支延拓为全局分支．为此令ω＝u－u＊2，χ＝v，若（u，v）为系统（2）的非负解当且仅当－u＊2≤ω≤1－u＊2，χ≥0，且满足

其中F1（ω，χ）＝αω2（3u＊2－b－1＋ω）＋F0＝ （F1，F2），F0（0，0）＝0，且F0关于（ω，χ）在（0，0）处的Fréchet导数D（ω，χ）F0｜（0，0）＝0．设K是－在Dirichlet边界条件下的逆算子，则（7）等价于

定义算子T：R＋×X→X为

其中T1＝αK（－3u＊22＋2（b＋1）u＊2－b）ω－K·KF2（ω，χ），则T（d；ω，χ）为X上的紧可微算子．令G（d；ω，χ）＝ （ω，χ）T－T（d；ω，χ），则G是C1函数且G（d；0，0）＝0．易知，G（d；ω，χ）满足－u＊2≤ω≤1－u＊2，χ≥0的零点恰好是（2）的非负解．令

K（d）＝DT（ω，χ）（d；0，0）＝

其中K1＝αK（－3u＊22＋2（b＋1）u＊2－b），

设η≥1是K（d）的特征值，相应的特征函数设为（ω，χ），则K（d）（ω，χ）T＝η（ω，χ）T，即

假设χ≡0，由于η≥1，则由文献［5］的定理3．3．11知即算的所有特征值全小于0，从而ω＝0，矛盾．因此χ≢0，于是存在某个i，使得d＝di（η），其中di（η）是问题的特征值，显然，di（η）关于η在［1，＋∞）上递增，且di（η）满足

因此η≥1为K（d）的特征值当且仅当存在某个i，使得d＝di（η）．

假设d＜λ，则对任意的η≥1、i≥1，有d＜d1（1）≤di（η）．因此K（d）没有大于或等于1的特征值，从而当d＜λ时，index（T（d；·），0）＝1．

假设λ＜d＜d2（1），则对任意的η≥1、i≥2，有d＜di（η）．又d1（1）＝且d1（η）关于η严格递增，因此存在唯一的η1＞1，使得d＝d1（η1）．于是N（η1I－K（d））＝χ）｝，dim N（η1I－K（d））＝1，其中χ＞0是如下特征值问题的主特征函数：

下面证明R（η1I－K（d））∩N（η1I－K（d））＝｛0｝．若不然，不失一般性，设（ˉω，ˉχ）∈R（η1IK（d）），则存在（ω，χ）∈X，使得（η1I－K（d））（ω，χ）＝（ˉω，ˉχ），即

在上述方程两端同时乘ˉχ，并在［－1，1］上积分得

由全局分歧定理［10］知，在R＋×X内，存在从u＊2，0）出发的连通分支C0满足G（d；ω，χ）＝0，且在点（λ；u＊2，0）附近，G（d；ω，χ）的所有零点都在定理1给出的那条曲线上．令C1＝C0－ ｛（d（s）；s（ω1＋φ（s）），s（χ1＋ψ（s）））：－δ＜s＜0｝，C＝ ｛（d；u，v）：u＝ω＋u＊2，v＝χ，（d；ω，χ）∈C1｝，则C为系统（2）由（λ；u＊2，0）出发的解曲线．

令P1＝ ｛u∈C10［－1，1］：u（x）＞0，－1＜x＜x＝1，－1｝，P＝ ｛（d；u，v）∈R＋×X：u，v∈P1｝，则在（λ；u＊2，0）的邻域内有C⊂P，并且C－｛（λ；u＊2，0）｝满足下列条件之一：

（ⅰ）C连接了分歧点（＾λ；u＊2，0）和（d；u＊2，0），其中I－K（d）不可逆，且λ≠d；

（ⅱ）C在R＋×X内由（＾λ；u＊2，0）延伸到∞；

（ⅲ）C包含了形如（＾λ；u＊2＋u，v），（λ；u＊2－u，v）的点，其中（u，v）≢ （0，0）．

下面证明C－｛（λ；u＊2，0）｝⊄P．若C－｛（λ；u＊2，0）｝⊂P，则（ⅰ）和（ⅲ）不成立．另一方面由引理4知，存在常数M1＞0，满足‖u‖、‖v‖≤M1，即C在R＋×X中有界．因此（ⅱ）不成立．从而C－｛（λ；u＊2，0）｝⊄P，故存在（＾d；u，v）∈（C－｛（λ；u＊2，0）｝）∩∂P和序列｛（dn；un，vn）｝⊂C∩P，un、vn＞0，使得当n→ ∞ 时，（dn；un，vn）→ （d；u，v）．易知u∈∂P1或v∈∂P1．假设u∈∂P1，则u≥0，x∈ ［－1，1］，从而要么存在x0∈ （－1，1），使得u（x0）＝0，要么x0＝－1或1，使得0．由于u满足方程

其中M2＞0，满足0且有界．由极大值原理知u≡0．同理，假设v∈∂P1，则v≡0．因此（＾u，v）有以下4种可能：

假设（＾u，v）＝ （0，0），则当n→ ∞ 时，（dn；un，且满足

由Lp估计和Sobolev嵌入定理知，存在Un的收敛子列（不失一般性仍然记为Un）使得当n→∞ 时，Un→U在C10［－1，1］上成立，且U≥0，≢0，x∈（－1，1），因此对于上式令n→ ∞ 得

由强极值原理知U≡0，x∈ ［－1，1］，矛盾．

假设（u，v）＝ （0，θd），则当n→ ∞ 时，（dn；un，vn）→ （d；0，θd）．令Un＝且满足

由Lp估计和Sobolev嵌入定理知，存在Un的收敛子列（不失一般性仍然记为Un）使得当n→∞ 时，Un→U在C10［－1，1］上成立，且U≥0，≢0，x∈（－1，1）．因此对于上式令n→ ∞ 得

由强极值原理知U≡0，x∈ ［－1，1］，矛盾．

假设（u，v）＝（u＊2，0），则当n→∞时，（dn；un，vn）→（d；u＊2，0）．令Vn＝且满足

由Lp估计和Sobolev嵌入定理知，存在Vn的收敛子列（不失一般性仍然记为Vn）使得当n→ ∞时，Vn→V在C10［－1，1］上成立，且V≥0，≢0，x∈（－1，1）．因此对于上式令n→ ∞ 得

由极大值原理知V＞0，x∈（－1，1）．因此d＝λ，矛盾．

从而全局分支C必与半平凡解分支｛（d；u＊1，0）：d＞0｝交于（ d；u＊1，0），因此有如下定理：

定理2 设α＞α＊，0＜b＜，则由定理1给出的正解分支C必交半平凡解分支｛（d；u＊1，0）：d＞0｝于点

3 结语

利用分歧理论研究了具有强Allee效应的捕食－食饵模型正解的存在性．结果表明，系统（2）存在发自单重分歧点（λ；u＊2，0）的局部分支，且该分支可延拓为全局分支，最终交半平凡解分支｛（d；u，0）：d∈R＋｝于点（d；u＊1，0）．从生态学角度来看，如果捕食者的增长率控制在一定范围内，则食饵和捕食者可以共存；如果捕食者的增长率过大或太小，二者不能共存．

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