两两PQD序列的矩完全收敛性

2013-10-28沈建伟

杭州师范大学学报(自然科学版) 2013年4期

关键词：收敛性学报定理

沈建伟

(浙江科技学院理学院,浙江杭州 310023)

两两PQD序列的矩完全收敛性

沈建伟

(浙江科技学院理学院,浙江杭州 310023)

两两PQD列;完全收敛性;矩完全收敛性

0 引言

完全收敛性是由Hsu和Robbins[1]引入的概率极限理论中的一个重要概念,目前已有许多关于混合随机变量列的完全收敛性的文献.近期关于矩完全收敛性问题也得到了学者的关注并获得不少成果. 设{Xk,k≥1}为一个i.i.d.随机变量序列且均值为零、方差有限,Chow[2]获得了如下的矩完全收敛结果:

定理A假设{Xk,k≥1}为一个i.i.d.的随机变量序列,EX1=0.对于1≤p<2和r>p,若E{|X1|r+|X1|log(1+|X1|)}<∞, 则对∀ε>0,有

王定成等[3]把Chow的结果推广到了p-型Banach空间,得到了矩完全收敛的充分必要条件. Li等[4]和Kim等[5]获得了同分布NA列、φ混合序列的移动平均过程的类似结果.王定成等[6]获得了NA列的矩完全收敛的充分必要条件. 陈平炎等[7]把结果推广到了同分布的ρ混合序列情形. 傅可昂[8]得到了关于同分布PA列的矩完全收敛性.本文把结果推广到了不同分布的两两PQD序列情形.

文中总设c代表正常数, 在不同的地方可以代表不同的值.[x]表示不超过x的最大整数. 记

定义1[9]称随机变量X和Y是PQD(positively quadrant dependent)的，若对∀x,y∈R都有

P(X

称随机变量序列{Xn,n≥1}是两两PQD的，若对∀i≠j,Xi与Xj是PQD的.

引理1[9]设随机变量X和Y是PQD的，则

(i)EXY≥EXEY;

(ii)若f,g同为非降(或非增)函数，则f(X)与g(Y)仍为PQD的.

引理3[11]设{Xn,n≥1}是任意随机序列.若存在某随机变量X,使对任意x>0及n≥1,有P{|Xn|≥x}≤cP{|X|≥x},则对∀β>0,∀t>0有

E|Xn|βI(|Xn|≤t)≤c(E|X|βI(|X|≤t)+tβP{|X|>t}),

E|Xn|βI(|Xn|>t)≤cE|X|βI(|X|>t).

1 主要结果

(1)

注1由于矩完全收敛性蕴含完全收敛性, 故在定理1的条件下, 式(1)蕴含了

注2在定理1的条件下，由证明过程可知下面结论亦成立：

2 定理的证明

要证明式(1)成立, 只需要证明

(2)

(3)

首先估计I1.由10(n≥1),积分中值定理得

cE|X0|rh(|X0|p)<∞.

再估计I2.由0

cx-1nE|X0|rx-(r-1)I(|X0|>x)≤cxp-r→0 ，当x→∞.

因此,对于充分大的x, 有

(4)

故要证I2<∞,只需证

(5)

(6)

(7)

对于I312, 其证明类似于I1,不赘述, 得

I312<∞.

(8)

(9)

对于I32, 由Minkowski不等式及E|X0|r<∞(1

(10)

由式(7)、(8)、(9) 可得

I31<∞.

(11)

由式(10)、(11)、(6)可知式(5)成立.综上所述,定理1 成立.

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CompleteMomentConvergenceofPairwisePQDSequences

SHEN Jianwei

(School of Science, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)