直线与圆锥曲线综合问题的求解策略

2013-10-26海宁市高级中学浙江海宁314400

中学教研(数学) 2013年2期

● (海宁市高级中学浙江海宁 314400)

直线与圆锥曲线综合问题的求解策略

●顾贯石(海宁市高级中学浙江海宁 314400)

解析几何是通过代数方法来研究几何问题的一门学科，它将几何与代数进行完美地结合，有很强的综合性．其中直线与圆锥曲线综合问题是历年高考的重点之一，常以中难题为主，主要涉及：位置关系的判定问题、求值问题(长度、面积等)、求参数的最值与范围问题、定点与定值问题、存在性问题等等．突出考查数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想方法，对分析问题和解决问题的能力、运算能力等有较高的要求．

1 典例剖析

直线与圆锥曲线综合问题的求解策略主要有2种：线参数法与点参数法．

1．1 线参数法

所谓“线参数法”，是将条件或结论用坐标(直线与圆锥曲线的交点坐标)表示为x1±x2，x1x2(或y1±y2，y1y2)，通过直线方程与圆锥曲线方程联立，用韦达定理或求交点坐标等来求解的方法．其中将条件或结论用坐标表示是线参数法的关键．

图1

(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程.

(2)设直线l与椭圆C交于点A，B，且△AF1F2，△BF1F2的重心分别为点G，H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

(2010年浙江省数学高考理科试题)

分析(1)不难求得直线l的方程为

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

x1x2+y1y2<0．

联立直线l与椭圆C的方程得到

通过韦达定理结合Δ>0，解得m的取值范围为1

图2

(1)求椭圆C的方程.

(2)直线l过椭圆C内一点M(m,0)，与椭圆C交于点P,Q，点N在直线x=-2上.如果点F恰为△PNQ的垂心，求m的取值范围．

λy=x-m．

本题有3个变量m，λ，y0，可以通过“垂心”的条件获得三者关系，从而得到f(m,λ)=0或g(m,y0)=0，再通过求函数值域或解不等式求得m的取值范围．

解由PQ⊥NF,得

即y0=λ.

(1)

由NQ⊥PF得

(2)

式(1),式(2)化简得

(λ2+1)y1y2+λ(m+1)(y1+y2)+(m+1)(m+2)=0.

(3)

(λ2+2)y2+2λmy+m2-2=0.

代入式(3)化简得，

mλ2=-(3m2+6m+2)(显然m≠0)．

由λ2≠0得

评注本题容易发现：m的变化与l的斜率、点N的纵坐标有关．由“垂心”的条件可转化为f(m,λ)=0来求解，但列出关于坐标的等式(3)是本题的难点．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆、三角形垂心等基础知识，考查解析几何基本思想方法和综合解题能力．

1．2 点参数法

所谓“点参数法”，是根据条件列出相关点坐标的等式，通过对得到的等式进行有目的的变形而求解的方法．但由于列出的等式有时参数较多，如果代数变式基础薄弱、变形目标不明确，有时较难求解问题．

图3

(1)求该椭圆的标准方程.

(2011年重庆市数学高考理科试题)

(2)若存在，不难知道点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，因此目标是求点P的轨迹方程，即寻找x，y的等式．但本题很难通过联立方程组，用线参数法的方法求解．

寻找x，y的等式可转化为寻找关于x1,y1,x2,y2的等式．考虑到点M，N在椭圆上，则

(5)

因为

所以

x1x2+2y1y2=0．

(6)

从而x2+2y2= (x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=

20+4(x1x2+2y1y2)=20,

即点P在椭圆x2+2y2=20上，从而求解．

评注本题考查椭圆的定义与方程、椭圆的性质等知识，同时综合向量知识应用“点参数法”考查求曲线方程等问题，也考查学生的探究能力．如果按存在性问题常规解题思路设F1，F2坐标求解，很难获得结论．本题选用“点参数法”比“线参数法”更简单，问题是：能否得出式(4),(5),(6)中的5个等式及对于等式的合理变形，这也是“点参数法”的最核心之处．