二阶非线性Schrödinger方程Dirichlet问题的整体W1，2解

宋玉坤，陈 阳，袁洪君

（1.吉林大学 数学研究所，长春130012；2.承德石油高等专科学校 数理部，河北 承德067000）

0 引 言

考虑有界域Ω⊂Rn上二阶非线性Schrödinger方程的Dirichlet问题：在物理上，方程（1）描述强激光束通过非均匀介质和等离子体的传播.目前，对不同物理背景下Schrödinger方程整体解的不存在［1－4］与存在性［5－15］研究已有很多结果.

文献［5］研究了一类具非齐项二维方程解的局部和整体适定性；文献［6］利用基态的变分特征、势井和凹性方法给出了类似方程Cauchy问题小初值整体解存在的最佳条件；文献［7－8］研究了方程

本文通过位势井方法结合Sobolev嵌入定理，进一步研究问题（1）－（3），得到了位势井深度d的表达式，并讨论了相关集合在流之下的不变性，得到了解的存在条件，进一步揭示了在位势井内问题（1）－（3）整体解W1，2的存在性.

用‖·‖p表示‖·‖Lp（Ω），‖·‖k，p表示‖·‖Wk，p（Ω），‖·‖＝‖·‖L2（Ω），（u，v）＝∫Ωuvdx.

1 主要结果

引理2 对于u∈W（Ω），‖▽u‖为‖u‖1，2的等价模.

先考虑问题（1）－（3）W1，2解的定义，设u（x，t）是问题（1）－（3）的古典解，用任意的v（x）∈W1，2（Ω）乘以式（1），在Ω上积分，并利用格林公式可得

定义1 若u∈L∞（0，T；W（Ω）），且式（4）对任意的v（x）∈W1，2（Ω）及0≤t≤T 成立，则称u＝u（x，t）为问题（1）－（3）在Ω×［0，T）上的W1，2解.

定义能量泛函：

由于问题（1）－（3）不具有正定能量，因此需引入位势井理论，当满足条件（H）时，定义

位势井：

先证明位势井深度d＞0.

证明：由J（u）和I（u）的定义，结合I（u）＝0，‖▽u‖≠0及嵌入定理，有

故

证毕.

定理1 设p满足条件（H），u0（x）∈（Ω）.若0＜E（0）＜d，I（u）＞0或‖▽u0‖＝0，则问题（1）－（3）存 在 一 个 整 体 W1，2解 u（x，t），u∈W，0≤t＜ ∞，且 u∈L∞（0，∞；（Ω）），ut∈L∞（0，∞；L2（Ω））成立.

证明：设｛ωj（x）｝为（Ω）的一个基函数系，构造问题（1）－（3）的近似解：

其中，gjm（t）是［0，T］上的复值函数，且满足如下非线性常微分方程组的初边值问题：

对t从0到t积分得

由E（0）＜d知，J（u0）＜d.再由I（u0）＞0或‖▽u0‖＝0可得，u0∈W.又因为W 是W1，2（Ω）中的开集，因此由式（6）可知，对充分大的m，有

下面证明W 在问题的流之下不变.假设式（8）不成立，则必存在某个t0＞0及充分大的m，使得um（t）∈∂W，即

由式（7）可得，对充分大的m，有J（um）＜d，故J（um（t0））＝d不可能.若

则显然有J（um（t0））≥d，这与式（8）矛盾，即对于充分大的m，有um（t）∈W.又由式（6）可得

从而

由于｛ws｝在W1，2（Ω）中稠密，故由式（9）可得式（4）成立.又由式（6）可得u（x，0）＝u0（x）.所以u（x，t）是问题（1）－（3）在Ω ×［0，∞）上的整体W1，2解.

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