标准算子代数上广义Jordan triple可导映射

张 芳 娟

(1. 西安邮电大学 理学院, 西安 710121; 2. 西安外事学院 工学院, 西安 710077)

设R是环,A,B∈R, 如果由ARB={0}, 可得A=0或B=0, 则R是素环; 若A∈R, 如果由ARA={0}, 可得A=0, 则R是半素环. 对于R上的可加映射A→A*, 若对所有的A,B∈R都满足(AB)*=B*A*和A**=A, 则称该映射满足对合运算. 一个环满足对合运算称为具有对合的环或*-环. 令A是代数, M是A-双模,δ: A→M是线性(可加)映射, 如果对所有的A,B∈A都满足δ(AB)=δ(A)B+Aδ(B), 则称δ是导子; 如果对所有的A∈A都满足δ(A2)=δ(A)A+Aδ(A), 则称δ是Jordan导子; 更一般地, 存在τ: A→M是导子, 如果对所有的A,B∈A都满足δ(AB)=δ(A)B+Aτ(B), 则称δ是广义导子, 且τ是相关导子; 存在τ: A→M是Jordan导子, 如果对所有的A∈A都满足δ(A2)=δ(A)A+Aτ(A), 则称δ是广义Jordan导子, 且τ是相关Jordan导子. 此外, 存在T∈A, 如果对所有的A∈A, 都有δ(A)=TA-AT, 则称导子δ是内的; 存在S,T∈A, 如果对所有的A∈A, 都有δ(A)=TA+AS, 则称广义导子δ是内的. 如果对所有的A∈A, 都满足δ(AA*A)=δ(A)A*A+Aδ(A)*A+AA*δ(A), 则称δ是广义Jordan triple可导映射.

导子和广义导子在代数理论中是一类重要的映射, 目前已有许多研究结果[1-9]. Herstein[1]证明了从特征不为2的素环到自身的Jordan导子是导子. Vukman等[2]得到: R是具有平凡中心的2挠自由半素*-环, 且δ: R→R是可加映射, 如果对所有的A∈R, 都满足δ(AA*)=δ(A)A*+Aδ(A)*, 则δ是导子. Brešar[3]证明了δ: R→R是具有平凡中心的2挠自由半素环上的可加映射, 如果对所有的A,B∈R, 都满足δ(ABA)=δ(A)BA+Aδ(B)A+ABδ(A), 则δ是导子. Vukman[4]推广了文献[1-3]的结果. 令H是复Hilbert空间, A⊆B(H )是标准算子代数,δ: A→B(H )是线性映射. 如果对所有的A∈A, 都满足δ(AA*A)=δ(A)A*A+Aδ(A*)A+AA*δ(A), 则存在S∈A, 使得对所有的A∈A, 有δ(A)=AS-SA, 即δ是内导子. 齐霄霏等[5]得到: 如果对所有的A∈A, 都满足δ(AA*A)=δ(A)A*A-Aδ(A*)A+AA*δ(A), 则存在S,T∈A, 使得对所有的A∈A, 都有δ(A)=SA-AT, 即δ是广义内导子. 本文研究对所有的A∈A, 满足δ(AA*A)=δ(A)A*A±Aδ(A)*A+AA*δ(A), 这种映射事实上也是广义内导子.

设H是复Hilbert空间, B(H )是H 上的有界线性算子全体, F(H )是B(H )上所有有限秩算子组成的子空间,I是H上的单位算子.子代数A⊆B(H ), 若有F(H )⊆A和I∈A, 则称A为标准算子代数. 对任意非零的x∈H和y∈H,x⊗y表示H上的一秩算子, 对任意的z∈H, 定义(x⊗y)z=〈z,y〉x.

定理1设H是复Hilbert空间, A⊂B(H )是标准算子代数. 如果线性映射δ: A→B(H )对所有的A∈A, 都满足

δ(AA*A)=δ(A)A*A+Aδ(A)*A+AA*δ(A),

(1)

则存在S,T∈B(H )和λ∈R, 且S+S*=T+T*=λI, 使得对所有的A∈A, 都有δ(A)=SA-AT.

证明: 1)δ(F(H ))⊆F(H ).

令A∈F(H )和P∈F(H )是投影, 使得AP=PA=A. 显然,A*∈F(H ),A*P=PA*=A*. 由式(1)有δ(P)=δ(P)P+Pδ(P)*P+Pδ(P). 在式(1)中用A+P代替A, 得

在式(2)中用-A代替A, 得

由式(2),(3)得

在式(4),(5)中用iA代替A, 得

由式(4),(6)得

δ(A2)=δ(A)A+Aδ(P)*A+Aδ(A),

(8)

由式(5),(7)得

2δ(A)=δ(A)P+δ(P)A+Aδ(P)*A+Pδ(P)*A+Aδ(P)+Pδ(A).

(9)

由于A,P∈F(H ), 由式(9)可知δ将F(H )映射到F(H ).

2) 存在S,T∈B(H ), 使得对任意的A∈F(H ), 有δ(A)=SA-AT.

由1)得δ: F(H )→F(H )是线性映射, 且对任意的A∈F(H ), 有δ(A2)=δ(A)A+Aδ(P)*A+Aδ(A). 类似可得: 对任意的A∈F(H ), 有δ(A2)=δ(A)A+Aδ(I)*A+Aδ(A). 定义映射τ: F(H )→F(H ), 使得对任意的A∈F(H ), 有τ(A)=δ(A)+δ(I)*A. 容易验证τ(A2)=τ(A)A+Aτ(A) 是线性Jordan导子, 且对任意的A∈F(H )满足δ(A2)=δ(A)A+Aτ(A). 于是,δ是F(H )上广义Jordan导子. 由于F(H )是素的, 故由文献[6]知,δ是F(H )上广义导子. 即对任意的A∈F(H ), 有δ(AB)=δ(A)B+Aτ(B)=δ(A)B+Aδ(B)+Aδ(I)*B.

下面证明δ是广义内导子. 令x0∈H,f0∈H, 使得〈x0,f0〉=1. 定义算子S: H→H,T: H→H, 使得Sx=δ(x⊗f0)x0,Tx=τ(x⊗f0)x0, 对任意的A∈F(H ), 有

δ(Ax⊗f0)=δ(A)x⊗f0+Aτ(x⊗f0).

(10)

式(10)右乘x0得δ(Ax⊗f0)x0=δ(A)x+Aτ(x⊗f0)x0, 即对所有的x∈H, 有SAx=δ(A)x+ATx, 由于x是任意的, 所以δ(A)=SA-AT.

下面证明S,T∈B(H). 对任意一秩算子R=u⊗f, 有RT=u⊗fT=u⊗T*f∈B(H ). 令{xn}⊂H, 使得xn→x,Txn→y. 由RT和R的有界性知,RTxn→Ry,RTxn→RTx. 因此Ry=RTx, 即〈Tx,f〉u=〈y,f〉u. 由于u和f是任意的, 得Tx=y. 于是T是闭算子. 又由闭图像定理可得T∈B(H ), 类似有S∈B(H ).

3) 存在λ∈R,S,T∈B(H ), 满足S+S*=λI=T+T*, 使得对任意的A∈A, 有δ(A)=SA-AT.

定义映射δ1: A→B(H )为δ1(A)=SA-AT. 若δ0=δ-δ1, 则δ0是线性的且满足式(1). 由2)得δ0(F(H ))={0}. 下面证明δ0作用在A上为零. 对任意的A∈A, 令P是一秩投影,M=A+PAP-(AP+PA). 注意到M可表示为M=(I-P)A(I-P). 于是MP=PM=0. 显然M-A∈F(H ), 则δ0(M)=δ0(A). 再注意到δ0(P)=0, 则由式(1), 有

即

δ0(M)P+Mδ0(M)*P+Pδ0(M)*M+Pδ0(M)*P+Pδ0(M)=0,

(11)

式(11)右乘P, 得

δ0(M)P+Mδ0(M)*P+Pδ0(M)*P+Pδ0(M)P=0,

(12)

式(12)左乘P, 得Pδ0(M)P+Pδ0(M)*P+Pδ0(M)P=0, 即

Pδ0(2M)P=-Pδ0(M)*P.

(13)

式(13)中用iM代替M, 得

Pδ0(2M)P=Pδ0(M)*P.

(14)

由式(13),(14)得:Pδ0(M)P=0,Pδ0(M)*P=0; 再结合式(12)得δ0(M)P+Mδ0(M)*P=0. 又由于δ0(M)=δ0(A),δ0(M)*=δ0(A)*. 于是

δ0(A)P+Mδ0(A)*P=0.

(15)

式(15)中用-A代替A(由M的定义, 此时M变成-M)得: -δ0(A)P+Mδ0(A)*P=0, 于是δ0(A)P=0. 又由于P是一秩投影, 故易证δ0(A)=0. 即对任意的A∈A, 有δ(A)=SA-AT.

下面验证S+S*=λI=T+T*,λ∈R. 将δ(A)=SA-AT代入式(1)得A(T+T*)A*A=AA*(S+S*)A, 即A[(T+T*)A*A-A*(S+S*)A]=0. 由于A是素的, 则(T+T*)A*A-A*(S+S*)A=0. 再一次用A的素性可得

(T+T*)A*=A*(S+S*).

(16)

式(16)两边取*, 得A(T*+T)=(S*+S)A, 即IA(T*+T)=(S*+S)AI. 由文献[7]中引理2.2得:S+S*和I线性相关,T+T*和I线性相关, 即S+S*=λI=T+T*,λ∈R.

推论1如果线性映射δ: A→B(H )对所有的A,B∈A, 都满足δ(AB*A)=δ(A)B*A+Aδ(B)*A+AB*δ(A), 则存在S,T∈B(H )和λ∈R, 且S+S*=T+T*=λI, 使得对所有的A∈A, 有δ(A)=SA-AT.

与定理1证明类似, 可得:

定理2如果线性映射δ: A→B(H )对所有的A∈A, 都满足δ(AA*A)=δ(A)A*A-Aδ(A)*A+AA*δ(A), 则存在S,T∈B(H )和λ∈{CR}∪{0}, 且S*-S=T*-T=λI, 使得对所有的A∈A, 有δ(A)=SA-AT.

推论2如果线性映射δ: A→B(H )对所有的A,B∈A, 都满足δ(AB*A)=δ(A)B*A-Aδ(B)*A+AB*δ(A), 则存在S,T∈B(H )和λ∈{CR}∪{0}, 且S*-S=T*-T=λI, 使得对所有的A∈A, 有δ(A)=SA-AT.

推论3如果线性映射δ: A→B(H )和τ: A→B(H )对所有的A∈A, 都满足

δ(AA*A)=δ(A)A*A+Aτ(A)*A+AA*δ(A),τ(AA*A)=τ(A)A*A+Aδ(A)*A+AA*τ(A),

则存在S0,T0,S1,T1∈B(H ), 使得对所有的A∈A, 有δ(A)=S0A-AT0,τ(A)=S1A-AT1.

证明: 令δ1=δ-τ, 则

由定理2知, 存在S,T∈B(H ), 使得对所有的A∈A, 有δ1(A)=SA-AT.

令δ2=δ+τ, 则

由定理1知, 存在M,N∈B(H ), 使得对所有的A∈A, 有δ2(A)=MA-AN. 因此有

2δ(A)=δ1(A)+δ2(A)=SA-AT+MA-AN=(S+M)A-A(T+N),

2τ(A)=δ2(A)-δ1(A)=MA-AN-SA+AT=(M-S)A-A(N-T).

令S0=(S+M)/2,T0=(T+N)/2,S1=(M-S)/2,T1=(N-T)/2, 则易见S0,T0,S1,T1∈B(H ), 且有δ(A)=S0A-AT0,τ(A)=S1A-AT1.

与推论3证明类似, 可得:

推论4如果线性映射δ: A→B(H )和τ: A→B(H )对所有的A∈A, 都满足

δ(AA*A)=δ(A)A*A-Aτ(A)*A+AA*δ(A),

τ(AA*A)=τ(A)A*A-Aδ(A)*A+AA*τ(A),

则存在S0,T0,S1,T1∈B(H ), 使得对所有的A∈A, 有δ(A)=S0A-AT0,τ(A)=S1A-AT1.

[1] Herstein I N. Jordan Derivation on Prime Rings [J]. Proc Amer Math Soc, 1957, 8(6): 1104-1110.

[2] Vukman J, Kosi-Ulbl I. On Derivations in Rings with Involution [J]. Intern Math Journal, 2005, 6(2): 81-91.

[3] Brešar M. Jordan Mappings of Semiprime Rings [J]. J Algebra, 1989, 127(1): 218-228.

[4] Vukman J. On Derivations of Algebras with Involution [J]. Acta Math Hungar, 2006, 112(3): 181-186.

[5] QI Xiao-fei, HOU Jin-chuan. Generalized Derivations Satisfying Some Equations on Standard Operator Algebras [J]. Advances in Mathematics, 2011, 40(6): 717-722. (齐霄霏, 侯晋川. 标准算子代数上满足某些等式的广义导子的刻画 [J]. 数学进展, 2011, 40(6): 717-722.)

[6] WU Jing, LU Shi-jie. Generalized Jordan Derivation on Prime Rings and Standard Operator Algebras [J]. Taiwanese Journal of Mathematics, 2003, 7(4): 605-613.

[7] QI Xiao-fei, HOU Jin-chuan. Nonlinear Strong Commutativity Preserving Maps on Prime Rings [J]. Communications in Algebra, 2010, 38(8): 2790-2796.

[8] ZHANG Fang-juan, ZHANG Jian-hua, CHEN Lin, et al. Nonlinear Lie Derivations on Factor von Neumann Algebras [J]. Acta Mathematics Sinica: Chinese Series, 2011, 54(5): 791-802. (张芳娟, 张建华, 陈琳, 等. 因子von Neumann代数上的非线性Lie导子 [J]. 数学学报: 中文版, 2011, 54(5): 791-802.)

[9] ZHANG Fang-juan, ZHANG Jian-hua. Unitary Derivable Mapping on B(H ) [J]. Advances in Mathematics, 2011, 40(2): 241-246. (张芳娟, 张建华. B(H )上的酉可导映射 [J]. 数学进展, 2011, 40(2): 241-246.)