两两PQD序列部分和之和的弱大数律

沈建伟

(浙江科技学院 理学院,杭州 310023)

两两PQD序列部分和之和的弱大数律

沈建伟

(浙江科技学院 理学院,杭州 310023)

利用随机变量的截尾方法和两两PQD序列的矩不等式,得到了矩条件下两两PQD序列部分和之和的弱大数律,该结果去除了随机变量对称同分布的限制条件,推广了若干已有的弱大数律。

两两PQD序列;部分和之和;弱大数律;截尾

随机变量序列部分和之和的极限性质,在理论和实践中均是有必要的。最初对部分和之和的研究,是Resnick[1]及Arnold等[2]在研究纪录值的极限理论时发现的。而在实际问题中,如随机游动、破产理论及时间序列理论中均有必要研究部分和之和。基于此,江涛等[3-4]得到了I.I.D.随机变量序部分和之和的大数定律，宇世航[5-6]给出了对称同分布NA序列部分和之和的弱大数定律和同分布NA序列部分和之和的强大数定律，查婷婷[7]给出了对称同分布PA序列部分和之和的弱大数定律，俞周晓等[8]得到了分布对称的PA序列部分和之和的弱大数定律并通过对PA列收敛速度的限制弱化了文献[7]中定理的条件。本研究得到了两两PQD序列部分和之和的弱大数定律,去除了随机变量分布对称和同分布的限制条件。

1 引 理

定义1[9]称随机变量X和Y是PQD(Positively Quadrant Dependent)的，若对∀x,y∈都有

P(X≤x,Y≤y)≥P(X≤x)P(Y≤y)。

称随机变量序列{Xn,n≥1}是两两PQD的，若对∀i≠j,Xi与Xj是PQD的。

引理1[9]设随机变量X和Y是PQD的，则

1)EXY≥EXEY;

2)若f,g同为非降(或非增)函数，则f(X)与g(Y)仍为PQD的。

引理2[10]设{Xn,n≥1}是均值为零的两两PQD序列,则

进一步,由引理2及引理3可知

(1)

引理4[12]设{Xn,n≥1}是任意随机序列。如果存在某随机变量X,使对任意x>0及n≥1,有P{|Xn|≥x}≤cP{|X|≥x},则对∀β>0,∀t>0有

E|Xn|βI(|Xn|≤t)≤c(E|X|βI(|X|≤t)+tβP{|X|>t}),

E|Xn|βI(|Xn|>t)≤cE|X|βI(|X|>t)。

2 主要结果

有：A⟹B⟹C。

有：A⟹B⟹C。

3 定理的证明

定理1的证明 先证：A⟹B。

又因为两两PQD序列的对称化序列仍是两两PQD序列，故只需对对称化序列证明定理成立即可。

不失一般性,不妨设{Xi,i≥1}为分布对称的同分布两两PQD序列,且设条件B中的bk=0,k≥1;则只需证：对∀ε>0,有

(2)

记Yi=-n1/pI(Xin1/p)。

由{Xi,i≥1}的对称性可知,{Yi,i≥1}仍是对称的,故EYi=EiYi=0。

由于{Xi,i≥1}为两两PQD序列,故由引理1知{iYi,i≥1}仍为两两PQD序列。

注意到

:=I1+I2

(3)

由{Xi,i≥1}的同分布性及条件A可知:

(4)

存在N0>0,当k>N0时,有

(k+1)1+δP(|X1|>n1/p)<β。

(5)

由Markov不等式,式(1),{Xi,i≥1}的同分布性,式(5)可得

cn1-2/plog2n{E|Y1|2+1}≤

cnlog2nP(|X1|>n1/p)+cn1-2/plog2nE|X1|2I(|X1|≤n1/p)+cn1-2/plog2n

(6)

对于I21,由条件A可知

I21→0,n→∞。

(7)

I22=cn1-2/plog2nE|X1|2I(|X1|≤n1/p)=

cn1-2/plog2n+cβn1-2/p(n+1)2/p-1-δlog2n≤

cn1-2/plog2n+cn-δlog2n

由0

n1-2/plog2n→0,n→∞。

(8)

同理,对于∀δ>0,可得

n-δlog2n→0,n→∞。

(9)

由式(8),式(9)可知

I22→0,n→∞。

(10)

I23→0,n→∞。

(11)

由式(7),式(10),式(11)可知

I2→0,n→∞。

(12)

由式(3),式(4),式(12)可知式(2)成立，即条件B成立。

再证:B⟹C。

即条件C成立。

定理1证毕。

定理2的证明 先证：A⟹B。

沿用定理1的符号与表达式,由定理1中A⟹B的证明过程知,只需证明:

I1→0,I2→0。

(13)

由Markov不等式,式(1),引理4可得

cnlog2nP(|X|>n1/p)+cn1-2/plog2nE|X|2I(|X|≤n1/p)+cn1-2/plog2n

(14)

对于I21=cnlog2nP(|X|>n1/p),由条件A可知

I21→0,n→∞。

(15)

对于I22=cn1-2/plog2nE|X|2I(|X|≤n1/p);I23=cn1-2/plog2n,类同于定理1中的讨论,有

I22→0,n→∞;I23→0,n→∞。

(16)

由式(14),式(15),式(16)可知I2→0,n→∞。即条件B成立。

再证:B⟹C。同定理1的证明。

定理2证毕。

[1] Resnick S I. Limit laws for record values [J].Stochastic Processes and their Applications,1973,1(1):67-82.

[2] Arnold B C, Villasenor J A. The asymptotic distributions of sums of records [J].Kluwer Academic Publishers,1999,1(3):351-363.

[3] 江涛,林日其.I.I.D.随机变量部分和之和的极限定理[J].淮南工业学院学报,2002,22(2):73-78.

[4] 江涛,苏淳,唐启鹤.I.I.D.随机变量部分和之随机和的极限定理[J].中国科学技术大学学报,2001,31(4):394-399.

[5] 宇世航.同分布NA序列部分和之和的弱大数定律[J].哈尔滨师范大学学报：自然科学版,2004,20(4):21-24.

[6] 宇世航.同分布NA序列部分和之和的强大数定律[J].山东大学学报:理学版,2008,43(4):62-66.

[7] 查婷婷.同分布PA序列部分和之和的弱大数定律[J].安徽建筑工业学院学报:自然科学版,2009,17(4):94-96.

[8] 俞周晓,王文胜.PA序列部分和之和的弱大数定律[J].杭州师范大学学报：自然科学版,2012,11(2):181-184.

[9] Lehmann E L. Some concepts of dependence [J].The Annals of Mathematical Statistics, 1966,37(5):1137-1153.

[10] 陆凤彬.两两PQD序列的完全收敛性和强大数定律[J].应用数学,2003,16(4):29-33.

[11] 刘庆.两两PQD序列的大数定律[J].浙江大学学报：理学版,2011,38(2):140-143.

[12] 吴群英.混合序列的概率极限理论[M].北京:科学出版社,2006.

WeaklawoflargenumbersforsumofpartialsumsofpairwisePQDsequenceofrandomvariables

SHEN Jianwei

(School of Sciences, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)

The weak law of large numbers for sum of partial sums of pairwise PQD sequence of random variables is obtained under the moment conditions by the truncation methods of random variables and moment inequalities of pairwise PQD sequence. The available results which eliminate the restriction of symmetric random variable and identical distribution extend to some known theorems.

pairwise PQD sequence; sum of partial sums; weak law of large numbers; truncation

O211.4

A

1671-8798(2013)06-0409-05

10.3969/j.issn.1671-8798.2013.06.002

2013-06-04

沈建伟(1972— ),男,浙江省萧山人,讲师,硕士,主要从事概率极限理论研究。