光学晶格中一维排斥费米气体的超流特性

李小磊，梁军军

（山西大学 理论物理研究所，山西 太原 030006）

0 引言

随着冷原子实验的发展，人们已经实现了利用激光囚禁费米子气体来模拟凝聚态理论中的一些理论模型［1］，如Hubbard模型.由于光学晶格的结构以及冷原子间相互作用的可调节性，使光学晶格中的费米子气体非常适合用于研究强关联系统的各种特性，这就使得在实验上研究Hubbard模型的强关联行为成为可能，进而成为研究高温超导体的超导机理的简单模型.由于形成库伯对需要费米子之间有等效的吸引作用，因而人们对吸引作用的费米气体超流做了大量的研究［2－4］，但是实际上粒子间的排斥相互作用也有可能产生等效的吸引相互作用［5］，近期人们对排斥相互作用的费米气体做了大量的研究［6－7］.文献［5］研究了处在外加简谐磁场的光学晶格中超冷费米气体的基态性质.在这样的系统中外加势场会使得粒子向势阱中心汇聚，而粒子间的排斥作用又会使得粒子向势阱两边分散，所以，当外加势场足够大时，费米子就会向势阱的中心聚集，形成一种类似穹顶状的密度分布，每个格点可能会有两个原子占据，出现双占据态.但是随着粒子间排斥相互作用的增加，粒子会向势阱两侧运动，使得势阱中心每个格点只占据着一个粒子，粒子密度的分布就会在势阱中心变得非常平坦，出现了Mott绝缘态.通过对束缚能的研究我们发现，当排斥相互作用大于一定值时，费米子间会有配对出现，并且在势阱的中心部分有Mott绝缘态的出现.该结论是在格点总数小于22的情况下得到的，这是因为该作者使用的是精确对角化方法，无法处理更大尺度的晶格.我们利用密度重整化群方法讨论了相同的配对问题，发现对于大尺度晶格，上面的结论是不准确的.

在本文中，我们计算了晶格中粒子数小于半填充时密度的分布以及相互作用不同时的基态能量，并分析了两个粒子间的束缚能.

1 理论模型

当存在外加势场时囚禁于光学晶格中的一维费米气体可以用如下的一维（Fermi－Hubbard Model）哈密顿量描述［8］：

我们设自旋向上费米子为n↑，自旋向下费米子数为n↓，总费米子数n＝n↑＋n↓，同时只限于讨论费米子小于半占据的情况.我们利用密度重整化群方法来计算两个费米子之间的束缚能Eb.如果Eb＜0，费米子之间会存在等效的吸引相互作用，这表明费米子之间形成库伯配对，进而意味着费米超流的存在.

2 模拟结果与分析

利用下面的公式Eb来计算费米子间的束缚能［5］：

其中Eg（n↑，n↓）表示系统中自旋向上的粒子数为n↑、自旋向下的粒子数为n↓的基态能量.我们首先重复了文献［5］的工作，利用密度重整化群方法计算了两费米子间的束缚能Eb，粒子数密度分布n（i）.在费米子小于半填充情况下，束缚能Eb在排斥作用增大到一定值时会由正值变为负值，同时在势阱中心出现Mott绝缘态，而在势阱两边是存在库伯对的超流态.我们发现利用密度重整化群方法与该文献利用精确对角化方法得到的结果完全一致，这表明我们的方法是可靠的.

在不改变填充因子的情况下把格点总数增加为N＝70的情况，讨论了自旋向上费米子数n↑＝25、自旋向下费米子数n↓＝25的密度分布以及束缚能Eb与排斥相互作用的关系，如图1所示.

图1 （a）费米子密度分布（b）和束缚能Eb随着U／t的变化Fig.1 Variation of density（a）and binding energy Eb（b）with repulsive interaction

由图1（a）可知，当排斥相互作用比较小（U／t＜5.5）时，谐振子势阱起主导作用，把费米子挤向势阱中心，双占据态（n（i）＞1）主要存在于势阱的中心；随着排斥相互作用增强（U／t≥5.5），排斥作用起主导作用，费米子之间的排斥作用迫使势阱中心每个格点只能有一个费米子.在势阱中心n（i）＝1，双占据态完全消失，出现Mott绝缘态.在图1（b）中，束缚能Eb在U／t≥5.5时为负值，表明系统在势阱两侧存在超流态，而在势阱中心存在Mott绝缘态，这正是文献［5］的结论.与文献［5］不同的是，当U／t＝4.5时，束缚能Eb也为负值，但从图1（a）中可以看出系统并没有出现Mott绝缘态，这在格点总数小于22的系统中是没有的.由此我们可以说文献［5］的结论实际上只对较小的晶格系统成立.

通过测试我们发现，当格点总数N小于22时，只有在势阱的中心出现Mott绝缘相时，束缚能Eb才会出现负值，这与采用精确对角化的方法得到的结果是一致的.一旦格点总数增大，即使在势阱的中心没有出现Mott绝缘相，束缚能Eb也会出现负值.

为了进一步说明束缚能取正负的区别，我们讨论了当系统增加两个费米子后，粒子数密度的变化，如图2（P206）所示.当排斥相互作用比较小（U／t＝2.5）时，由图2（a）可知增加的两个费米子使得势阱中心双占据态出现的次数变多，所以束缚能Eb为正值.图2（c）描绘了排斥相互作用比较大（U／t＝5.5）时，费米子密度的变化情况，增加的两个费米子为了使粒子间的排斥作用变小只是出现在了Mott绝缘态的两侧，所以只有在势阱的边缘出现了粒子数密度的波动，所以粒子间的束缚能Eb才会变成负值.这与文献［5］的结论一致，但是在图2（b）中，系统没有很强的排斥相互作用，势阱中心也没有出现Mott绝缘态，但是增加的两个费米子也没有使势阱中心双占据态增多，反而使势阱边缘出现了粒子数密度的波动，这也使得粒子间的束缚能Eb变成了负值.

图2 当粒子数小于半填充时，在不同的排斥相互作用影响下，系统增加两个费米子前后的密度分布Fig.2 Density profile before and after adding two atoms below the half-filling with different repulsiveinteraction

同时，我们还分析了填充因子与文献［5］不同时费米子的密度分布以及束缚能Eb与排斥相互作用的关系.我们发现，当改变填充因子时（N＝50，n↑＝20，n↓＝20），依然能够得到与上文相同的结论.

保持格点总数和填充因子不变，改变外加磁场，由图3（a）可知，当外加磁场非常小时（V／t＝1.0），无论粒子间的排斥相互作用如何变化，结合能Eb都为正值.随着外加磁场的增加（V／t＝4.0，V／t＝6.0），只有当排斥相互作用大于某一值时（U／t＝3.0，U／t＝4.0），费米子间的结合能才会出现负值.继续增大外加磁场，由图3（b）可知，对于V／t＝8.0，曲线有1个孤立的极小值，而对于V／t＝9.0，孤立的极小值点有2个，这些极小值点均为负值，表明在该处也存在库伯对.可以看出，在出现Mott绝缘态之前Eb出现负值的次数随着外势的增大逐渐变多，并且震荡也变得更加激烈.经过测试，当填充因子发生变化时，依然能够得到同样的结论.

图3 外加势场不同时束缚能Eb随排斥相互作用U／t的变化Fig.3 Variation of binding energy Ebwith repulsive interaction at different trap potential

由此可知，不仅仅是外加势场和粒子间的相互作用会对粒子间的库伯配对与超流产生影响，同时格点总数的增加也会使得粒子间的束缚能发生新奇的变化.它们三者之间的关系对系统超流性质的影响是一个非常值得研究的问题.

3 结论

我们利用密度重整化群的方法研究了在粒子数小于半填充的情况下囚禁于光学晶格中的超冷费米气体的超流特性.外加磁场会使费米子向势阱中心集中，而排斥作用则会使费米子在光学晶格中均匀分布.我们发现不同的格点总数对光学晶格中费米子气体的超流有很大影响.在格点总数小于22情况下，只有在系统存在Mott绝缘态时，粒子间才会出现库伯对，从而表明超流的存在.但是随着格点总数的增加，即使在系统中不存在Mott绝缘态，粒子间也会出现库伯对.因此在格点总数大于22时，当排斥作用满足某一个特定值时，不论是否存在Mott绝缘态，系统中都可能会有超流态的存在.

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