一种空间3DOF并联柔索驱动机器人仿真研究

韩莉莉，许军辉，宁 祎，朱邦河

HAN Li-li,XU Jun-hui,NING Yi,ZHU Bang-he

（河南工业大学，郑州 450007）

0 引言

空间机器人受工作环境的限制，对重量和构形比较敏感。同时，空间作业要求机器人在动作和工作空间上具有一定的柔性，传统的机器人一般通过杆传动，使机器人的重量较大，工作空间柔性不足。柔索驱动机器人的出现，为解决这一问题提供了有效手段。它用柔索代替传统并联机器人的连杆，从而在很大程度上降低了机器人的重量，并增加了在构型上的柔性。自20世纪 80 年代以来，柔索驱动并联机器人一直是众多学者关注的研究热点之一。国内外已开展了多项关于柔索驱动的研究，并取得了一定的进展。

柔索驱动建模的难点在于柔索的建模。SHIANG等把柔索看做无质量的直线单元对三自由度索系并联机器人进行了数值仿真[1]，PHAM等利用数值仿真与数学分析相结合的方式研究了三自由度柔索驱动机器人[2]。到目前为止，柔索驱动的动力学建模还没有形成一套完全令人满意的方法。本文利用ADAMS通过仿真实验建立了柔索模型和空间三自由度柔索驱动并联机器人动力学模型，并利用数学分析和软件仿真相结合的方法验证了该模型的稳定性和合理性，提高了效率，简化了计算。本文所建立的柔索驱动机器人数学模型在柔索建模方法上具有一定的通用性，为进一步研究柔索驱动并联机器人动力学优化及控制奠定了基础。

1 运动学与动力学分析

1.1 建立模型

并联柔索机器人一般由驱动器、柔索传动系统和执行机构组成。它用柔索代替传统并联机器人的连杆，从而在很大程度上降低了操作臂重量。由于柔索只能沿其轴向承受拉力，不能承受压力，所以n根柔索并不能实现n个自由度位置的完全约束，至少需要n + 1条才能实现位置的完全约束，多出的1条或者多条用来保证机构中所有驱动柔索处于张紧状态。

本文研究的空间三自由度柔索驱动并联机器人，采用四根柔索驱动，其结构模型示意图如图1所示，从图1中可知其结构参数共有四个，分别设为：

图1 三自由度球关节模型示意图

1）球关节支撑中心到动平台的高度为h；

2）底座固定平台的半径为R；

3）运动平台的半径为r；

4）钢丝绳与底座固定平台和运动平台的联接点分别为Ai,Bi,i∈{1,2,3,4}。

1.2 静力学与运动学分析

在进行仿真之前，首先要解决的是运动学正解问题[3,4]。本文研究对象为三自由度柔索驱动并联机器人（如图1所示)，由4根柔索驱动。柔索的两端分别连接在动平台和底座上的点Bi和Ai(i=1，2，3，4)处。∑A和∑B分别为固联在底座的基坐标系和动平台的动坐标系。为了简化计算，做如下假设∶

1）柔索与动平台和底座的连接为理想球铰;

2）除柔索之外，其他部件均为理想刚性;

3）柔索为线弹性。

操作臂的位置和姿态可以定义为齐次变换矩阵：

式中：R∈ R3×3和P∈ R3×1分别表示动坐标系相对基坐标系的旋转变换矩阵和动坐标系坐标原点在基坐标系中的位置矢量。姿态矩阵则是具有9个元素的方向余弦矩阵，因此可用3个独立变量来表示姿态矩阵。这三个变量分别取绕基坐标三个轴的转角。则可以得到运动平台相对于转动前的姿态变换矩阵，如式（1）所示：

其中，R(X,a),R(Y',b)和R(Z'',g)分别是绕X,Y',Z''轴的基本旋转变换矩阵，ca=cosa,sa=sin a。同理可以得到其他旋转顺序的旋转矩阵。

这里设动平台中心位置坐标为 c[ X,Y,Z]，那么就可以将动平台中的位姿表示为：

根据以上分析，下面推导其逆运动学方程，其逆运动学方程是指在已知机械臂末端位姿的条件下求解各驱动绳索的长度。

绳索的长度矢量用Li表示，则：

其中ai和bi分别表示第i（i=1，2，3，4）根柔索在∑A和∑B中连接点的矢量表示：

绳索的长度：

对式（3）求导可得到柔索的速度：

1.3 动力学分析

动平台的位置可以通过欧拉方向角来唯一确定，令 x=[a,b,g]T根据拉格朗日方程建立系统的动力学方程：

其中，t=[t1,t2,t3,t4]T为柔索的张力矢量。JT系统的雅可比矩阵：

式(7)中riA和rBi分别为第i根柔索在坐标系∑A和∑B中的矢径表示：

其中sa=sina ，ca=cosa。

2 仿真及结果分析

2.1 柔索可靠性分析

由于系统中加入了柔索，柔索只能受拉力而不能受压力、弹性变形和非线性力学特性，使得并联柔索机器人的建模变得相对困难。所以柔索模型的正确性在仿真中至关重要，本文基于ADAMS利用有限分割法把柔索看作是有限个有质量的小圆柱，通过bushing力连接来建立柔索模型。首先，我们要对一根钢丝绳进行模拟仿真实验，来确定柔索模型的相关参数。对于单根钢丝绳的动力学仿真模型，其阻尼比主要受以下三个方面的影响[5～7]：

1）钢丝绳的自由摆动姿态接近实际仿真情况，来确定阻尼比的值；

2）当钢丝绳受力弯曲时，另一端连接到基底的受力应为0（钢丝绳只能承受拉力，不能承受压力）；

3）在拉力的作用下，钢丝绳的伸长量应与实际伸长量接近。

钢丝绳模型的参数如下：有100段半径为1mm长度为10mm的圆柱组成。其参数设置如下图：

系统重力加速度为9.8N/kg，下面我们对这单根钢丝绳进行仿真来证明这种方法建立的钢丝绳模型是符合实际情况的。

仿真1：让钢丝绳在重力作用下自由摆动。仿真时间为5s，仿真步数为1000。钢丝绳只在重力作用下的自由摆动姿态接近实际情况。

仿真2：把钢丝绳的一端固定，另一端用滑动副连接并施加100m/s的速度，方向朝向固定端，在仿真刚开始，由于存在钢丝绳的拉力，固定端受力为0.9761N，但是随着钢丝绳的弯曲固定端的受力迅速衰减至0，这接近实际情况。其受力变化如图2所示。

图2 固定端受力变化

仿真3：在钢丝绳的一端沿Y轴负方向施加一个1000N的力，来观察钢丝绳在Y轴方向上长度变化如图3所示，长度为2001.667mm，其伸长量为1.667mm。而通过理论计算钢丝绳的伸长量为1.6mm，钢丝绳在X轴和Z轴的伸长量几乎为0。其仿真误差为4%，在许可范围之内。

图3 在Y轴施加力后柔索的长度变化

经实验验证得到ADAMS中柔索模型bushing力的刚度和阻尼比分别为59346和1。

2.2 模型验证

如图1所示三自由度柔索并联驱动机器人的相关参数如下：R=500mm，r=100mm，h=1000mm画出三自由度球关节的三维运动学模型，结合上述分析，通过编制cmd程序来建立钢丝绳模型[8]。该机构的三维模型如图4所示。

图4 三自由度柔索并联驱动机器人三维模型

因为钢丝绳不能够承受压力，所以这里的平移副和球铰副的摩擦力设置为零，同时，每根钢丝绳上施加预紧力τ（方向沿钢丝绳），以保证钢丝绳始终处于张紧状态。对上述三自由度并联柔索驱动机器人，在各驱动绳上施加相应的控制力，可使运动平台在相应的控制力作用下，到达指定位置。以此来验证模型的合理性和正确性。

动平台中心运动轨迹：

根据动力学分析，可以计算出动平台在沿轨迹运动过程中的速度变化、绳长的变化和力的变化，然后将所计算的力的数据以sp1ine的形式导入到adams中，来控制动平台运动，通过仿真可以得到动平台位置变化曲线图5和柔索长度变化曲线图6。仿真时间为5s，step=1000。由图5可知，动平台上端中心的运动曲线与数学分析所得的值在x，y，z轴方向的最大误差分别为0.328mm、0.632mm、1.056mm，最大误差小于1%。仿真结果与数学计算结果基本一致，进一步验证了所建模型的合理性。

图5 动平台中心的位移

图6 四根绳索的长度变化

从图6的仿真曲线中可以看出，在运动过程中，绳索2的伸长量最大，绳长变化从1081.6769mm到1197.3076mm；绳索1的收缩量最大，绳长变化从1081.6769mm到955.6774mm；绳索3、4长度几乎没有变化。这种情况与运动轨迹的描述是一致的。仿真结果表明，该机构在沿预定轨迹运动时，整体运动平滑和稳定，所建模型合理、有效。

3 结束语

本文设计了一种空间三自由度柔索驱动并联机器人模型，并用数学分析和软件仿真方法对其进行了研究，结论如下：

1)把柔索看作是有限个有质量的小圆柱通过bushing力连接，建立柔索的动力学模型，结果表明，该柔索模型与实际情况。比较接近。该方法具有一定的通用性，为空间三自由度柔索驱动并联机器人的控制奠定了基础，并为其他柔索驱动系统的动力学模型的仿真提供了理论参考。

2)通过数学分析和ADAMS软件仿真相结合的方法来研究柔索问题，具有一定的有效性；

3)该机构整体结构较为简单、重量轻、实用性强、便于组装和维护、能够产生较大的工作空间，同时其运动学计算简单，易得出显式表达式，从而易于实时控制。适用于空间作业。

[1] SHANG W J. CANNON D,GORMAN J. Dynamic ana1ysis of the cab1e array robotic crane[C]//Proc,of IEEE Int.Conf. on Robotics and Automation,May 10-15,1999,Detroit,Michigan,USA.Michigan;IEEE,1999∶2495-2500.

[2] PHMA C B,YEO S H,YANG G L,et a1.Force-c1osure workspace ana1ysis of cab1e-driven para11e1 machanisms[J].Mechansim and Machine Theory,2006,41(1)∶53-69.

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[5] 周炜,易建军,郑建荣.ADAMS软件中绳索类物体的一种建模方法[J].现代制造工程,2004,5∶38-39.

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[8] 刘红军,赵帅,魏英姿.一种刚柔结合并联机构及其动力学分析.制造业自动化,2009,12∶166-168.