涉及微分多项式的亚纯函数族正规定则

孟耀霞， 刘晓俊

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

1986年，杨乐［1］和朱经浩［2］证明了定理1.

定理1 设F为区域D内的亚纯函数族，ψ≠0为D内的全纯函数，k∈Z＋.如果每个f∈F，在D内都满足f≠0与L（f）≠ψ（z），则F在D内正规.

2010年，徐焱［3］进一步得到了定理2和定理3.

定理2 设k∈Z＋，F为区域D内的亚纯函数族且对每个f∈F满足f≠0，ψ≠0为D内的全纯函数.如果对F内任一组函数f与g，f（k）与g（k）在D内分担ψ（z），则F在D内正规.

定理3 设ψ≢0为区域D内的只有单零点的全纯函数，k∈Z＋，F为区域D内的亚纯函数族.如果每个f∈F满足f≠0且只有重极点；对F内任一组函数f与g，f（k）与g（k）在D内分担ψ（z），则F在D内正规.

本文将定理2和定理3推广到微分多项式［4］的情形，得到了定理4和定理5.

定理4 设k∈Z＋，F为区域D内的亚纯函数族且对每个f∈F满足f≠0，ψ≠0为D内的全纯函数.如果对F内任一组函数f与g，L（f）与L（g）在D内分担ψ（z），则F在D内正规.

定理5 设ψ≢0为复平面区域D内的只有单零点的全纯函数，k∈Z＋，F为区域D内的亚纯函数族.如果每个f∈F满足f≠0且只有重极点；对F内任一组函数f与g，L（f）与L（g）在D内分担ψ（z），则F在D内正规.

Pf表示f的极点，C＼Pf表示复平面C除掉f的极点.

2 引 理

引理1［5］设F为区域D内的一个亚纯函数族，每一个f满足f≠0.如果F在D内的一点z0不正规，则对任何的α≥0，存在

a.点列zn→z0（n→∞）；

b.正数列ρn→0＋（n→∞）；

c.函数列fn∈F，使得这里g（ζ）为非常值有穷级亚纯函数.

引理2［6］设f为复平面C上一个非常值亚纯函数，a≠0∈C，k∈Z＋，则f或f（k）－a有零点.更进一步，若f是超越亚纯函数，则f或f（k）－a有无穷多个零点.

引理3［3］设k∈Z＋，f为非常值有理函数且f≠0，则

a.f（k）（z）－1至少有2个不同的零点；

b.若f的极点均为重级（至多可能有1个例外），则f（k）（z）－z至少有2个不同的零点.

引理4［7］设f为复平面C上的一个超越亚纯函数，R（z）≢0为一有理函数，k∈Z＋.如果f的零点与极点（除有限个外）重级都至少为2，则f（k）－R有无穷多个零点.

由定理4和文献［3］中引理7～9的证明过程得到引理5～7.

引理5 设k∈Z＋，F为区域D内的全纯函数族且任意的f∈F，ψ≢0为D内的全纯函数.如果对F内任一组函数f与g，L（f）与L（g）在D内分担ψ（z），则F在D内正规.

引理6 设k∈Z＋，F为区域D内的亚纯函数族，｛ψn（z）｝为D内全纯函数列且在D上内闭一致收敛到全纯函数ψ，满足ψ（z）≠0（z∈D）.如果对每个n，fn（z）≠0且L（fn）（z）－ψn（z）在D内至多只有1个零点z＝0，则F在D内正规.

引理7 设k，l∈Z＋，Δ＝f｛｝n为Δ内的全纯函数族，为Δ内纯函数列且在Δ上内闭一致收敛到zl，如果对每个n，有fn（z）≠0与L（fn）（z）－ψn（z）在Δ内至多只有1个零点z＝0，则F在Δ内正规.

3 定理的证明

3.1 定理4的证明

假设 F在点z0∈D不正规，由引理1可知，存在点列zn→z0，ρn→0＋及fn∈F，使得gn（ζ）＝在C上，这里g（ζ）为非常值有穷级亚纯函数.因为，fn≠0，所以，由Hurwitz引理得g（ζ）≠0，易得，在C＼Pg上

由式（1）可知，在C＼Pg上

g（k）（ζ）－ψ（z0）≢0；否则，G为一个k次多项式，但这与G（ζ）≠0矛盾.

若∃ζ0，使得g（k）（ζ0）＝ψ（z0），由引理2和引理3可知，g（k）（ζ）－ψ（z0）至少有2个不同的零点，现证明这是不可能的.

由定理4中的条件可知，对任何fm∈F也有

固定m，令n→∞，有及L（fm）（z0）－ψ（z0）＝0.可设在z0的某领域内L（fm）（z）－ψ（z）≢0.否则，存在z0的某领域，使得在这个领域内L（fm）（z）≠ψ（z）＋1，于是，由定理1可知，F在点z0∈D正规，与假设矛盾.这样由上可推得zn＋ρnζn＝z0与，但这与矛盾.

若g（k）（ζ）≠ψ（z0），由引理2可知，g（ζ）为常值函数，矛盾.

3.2 定理5的证明

由定理4的结论可知，只需证明F在ψ（z）的每个零点处正规即可.

不失一般性，可设D＝Δ，ψ（z）＝zφ（z）（z∈Δ），这里φ（z）为Δ内的全纯函数，且在Δ上φ（z）≠0，φ（0）＝1.只要证明F在点z＝0正规.

若∃g∈F，使得L（g）（0）≠ψ（0），则存在δ＞0使得在Δδ上L（g）（z）≠ψ（z）.由定理5中的条件可知，对任意f∈F，在Δδ上有L（f）（z）≠ψ（z）.根据定理1可知，F在点z＝0正规.

若对∀g∈F，L（g）（0）＝ψ（0），取定1个g∈F，L（g）（0）＝ψ（0），∃δ＞0使得L（g）（z）≠ψ（z），z∈Δ′δ；否则，在该领域内有L（g）（z）≡ψ（z），由定理5中的条件可知，对任意f∈F，同样有L（f）（z）≡ψ（z）.这样，在z＝0的该领域内有L（f）（z）≠ψ（z）＋1，应用定理1，F在点z＝0正规，定理5得证.从而对∀f∈F，有

由定理1可知，F在Δ′δ正规.

假设F在点z＝0不正规.考虑

因为，f≠0，所以，g（0）＝∞.此时G在z＝0也不正规.

由引理1可知，存在zn→0，ρn→0＋及gn∈G，使得在C上，这里G（ζ）是C上一个非常值有穷级亚纯函数.因为，gn＝fn／ψ≠0，所以，由 Hurwitz定理可知，G（ζ）≠0.

情形1zn／ρn→∞.

通过简单计算可得

设

于是

则

所以

由G（ζ）≠0，易知G（k）（ζ）≢1.进一步可断言，G（k）（ζ）≠1.事实上，若G（k）（ζ0）＝1，则由 Hurwitz定理可知，存在ζn→ζ0，使得对充分大的n，L（fn）（zn＋ρnζn）＝ψ（zn＋ρnζn），从而由定理5中的条件可知，对每个正整数m都有L（fm）（zn＋ρnζn）＝ψ（zn＋ρnζn）.另外，zn＋ρnζn→z0∈Δδ，则对充分大的n，zn＋ρnζn≠0；否则zn＋ρnζn＝0，从而ζn＝－zn／ρn→∞，矛盾.这样对充分大的n，zn＋ρnζn∈Δ′δ.这与式（3）矛盾.

于是，有G（ζ）≠0与G（k）（ζ）≠1.由引理2得G是常数，矛盾.

情形2zn／ρn→α≠∞.

令

显然H（0）≠0，并且由fn≠0及Hurwitz定理可推得H（ζ）≠0.因为，fn只有重极点，同样由 Hurwitz定理可得，H也只有重极点.而

由式（4）得，在C＼PH上，

故

断言：当ζ∈C＼｛0｝时，H（k）（ζ）≠ζ.

首先，H（k）（ζ）≢ζ.否则，H（k）（ζ）≡ζ，则H是次数为k＋1的多项式，从而与H≠0矛盾.如果存在ζ0≠0使得H（k）（ζ0）＝ζ0，由 Hurwitz定理与式（5）可知，存在ζn→ζ0使得即L（fn）（ρnζn）＝ψ（ρnζn）.

由定理5中的条件，对每个正整数m都有L（fm）（ρnζn）＝ψ（ρnζn），ρnζn∈Δ′δ，这与式（3）矛盾，断言得证.

注意到H（ζ）≠0，由引理4可得，H必为有理函数.如果H不是常数，应用引理3可得，H（k）（ζ）－ζ至少有2个不同零点，矛盾.因此，H为一非零常数.现证明这是不可能的.

若设H≡C≠0，则有

若存在δ1＞0，使得fn≠∞，z∈Δδ1，则由引理5可知，｛fn｝在Δδ1上正规，矛盾.

故

若存在ζ0（≠0）使得H＊（k）（ζ0）＝ζ0，则由Hurwitz定理可知，存在ζn→ζ0使得ζn＝ζnφ（z＊nζn），即

由定理5中的条件可知，对每个正整数m都有但这与式（3）矛盾.故对每个至多在C上有一个零点ζ＝0，设则在Δ上内闭一致收敛，有ψn（ζ）→ζ.应用引理 6 得在C＼｛｝0上正规.注意到z＊n为fn具有最小模的极点，则在Δ上全纯，可应用引理7得在Δ上正规.因此，在整个C上正规.

［1］Yang L.The normality of meromorphic fuctions［J］.Science in China（Seris A），1986，29（9）：897－908.

［2］Zhu J H.A general normal criterion of meromorphic functions［J］.Bullen of Science（Chinese），1986（3）：174－177.

［3］Xu Y.On a result due to Yang and Schwick［J］.Sci Sin Math，2010，40（5）：421－428.

［4］翟文娟，叶亚盛，宋红伟.涉及微分多项式的亚纯函数正规性［J］.上海理工大学学报，2009，31（2）：122－124.

［5］Zalcman L.Normal families：new perspectives［J］.Bull Amer Math Soc，1998，35（3）：215－230.

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