两道有关反比例函数的中考题的解法

罗峻

近年中考对“反比例函数”板块的考查力度有所增加，出现了不少新颖独到、构思巧妙、综合性强的中考试题. 要解答这类题目，须联系相关知识点及反比例函数的性质，还需运用数形结合和等积变换的思想，进行具体分析.下面以武汉市中考题为例，谈谈这类题的解答方法.

例1 （2012年湖北武汉中考题） 如图1，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 .

图1

分析：反比例函数y=的一个重要性质是：比例系数k=xy.解决问题时，常常利用这个结论作出辅助线：过反比例函数图象上的点作两坐标轴的垂线，垂线段与横、纵坐标轴围成的矩形的面积为k.也可以围绕反比例函数的 k不变性，将题目中不明显的条件逐步转化，慢慢向这一性质靠拢，使之能利用这一性质解题.在这个过程中，往往通过面积作为桥梁实现未知与已知之间的转化.再看本题，已知的重要条件有“点A在反比例函数的图象上，点D为OB的中点，AE=3EC”等，将它们综合考虑，联系不同的知识点和基本图形，便能产生不同的解题方向和解题方法，从而培养思维的开阔性和灵活性，起到整合知识、训练思维的目的.

解法1：面积的割补法

如图2，连接DC.

观察到△ADE和△CDE的底在同一直线AC上，且高相等，由AE=3EC，△ADE的面积为3，易知△CDE的面积为1，那么△ACD的面积为4.设点A（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a.又点D为BO的中点，则BD=OD=b. 再根据梯形ABOC的面积为△ABD、△ADC和△DOC的面积之和，所以（a+2a）·b=a·b+4+×2a·b，解得ab=.又点A 在双曲线y=上，则k=ab=.

点评：由已知条件AE=3EC，发现图形中蕴含着有联系的两个三角形，即△ADE和△CDE的面积之比等于两底之比，这样可以很顺利地作出辅助线.通过设反比例函数图象上的点的坐标，表示出有关线段，以面积为桥梁建立方程，使问题得以解决，这也是我们最易想到的一种求解通法.

解法2：利用中点，构造全等三角形

如图3，延长AD交x轴的负半轴于点F，连接EF.

图3

由D为OB的中点，易证△ABD≌△FOD（ASA），则AD=DF，△ADE的面积与△DEF的面积相等且都为3，所以△AEF的面积为6 .

又AE∶EC=3∶1，则S△AEF∶S△CEF=AE∶EC=3∶1=6∶2，即S△CEF=2.所以S梯形ABOC=S△ACF=8.设A（a，b），则（a+2a）·b=8，解得ab=，即k=ab=.

点评：连接与中点有关的线段构造全等三角形也是梯形中常见的辅助线，这样梯形的面积可以转化为一个三角形（即△ACF）的面积.本解法反复运用同高的三角形的面积之比等于两底之比，将面积的求法发挥得淋漓尽致，实现了识图与转化能力的突破.

解法3：运用坐标系中三角形的面积公式

如图4，分别过点D、E作x轴的平行线，交点分别为F、G.

图4

由于D点为BO的中点，由DF∥AB∥x 轴知，点F平分AC.又AE=3EC，则E是FC的中点.

又由EG∥DF∥x轴，得G为OD中点，故DF、GE分别为梯形ABOC、梯形DFCO的中位线.

设A （a，b），则DF=（AB+CO）=a.又yA=b，yE=b，则yA-yE=BG=b.由平面直角坐标系内三角形的面积公式S=×水平宽×铅垂高，得S△ADE=DF·BG=×a·b=3，即ab=. 因此k=ab=.

点评：近年来中考出现的一类平面直角坐标系中三角形的面积计算问题，愈演愈烈，由此归纳出：三角形的面积公式S=×水平宽×铅垂高.本题正是基于这样的背景之下，想到运用此公式解题，为求解三角形面积问题添上了浓抹重彩的一笔.

例2 （2011年湖北武汉中考题）如图5，？荀ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），顶点C，D在双曲线y=上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k= .

图5

分析：要求出k值，须求出点C或点D的坐标，即求出点C或点D到坐标轴的距离.这需联系条件“四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍”和“AB、CD互相平行且相等”及结论“反比例函数的比例系数k为一常数”，三者有机结合，综合分析与思考.

方法1：面积转换法

注意到E是平行四边形边上一点，则△BCE的面积始终是平行四边形面积的一半，而△BCE与△ABE有公共边BE，这样可以根据面积之间的关系构造方程，求出C点的横坐标，为解题带来突破口.

解：如图6，由条件“四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍”知，？荀ABCD的面积是△ABE面积的6倍.而E为？荀ABCD边上一点，连接CE，则S△BCE=S？荀ABCD=3S△ABE.又△BCE与△ABE有公共边BE，S△BCE=·BE·xc， S△ABE=·BE·AO.

∴·BE·xc=3×（·BE·AO）.又AO=1 ， ∴xc=3.

由点C在双曲线y=的图象上，设点C的坐标为（3，），分别过C、D两点作y轴、x轴的平行线交于点H，则DH⊥CH.

由DH∥AO，知∠HDC+∠EDC +∠EAO=180°① .

由CD∥AB，知∠BAO+∠EDC +∠EAO=180°②.

结合①、②得∠HDC=∠BAO.

又AB=CD，

则△ABO≌△DCH（AAS）.

∴DH=AO=1，CH=OB=2.

又C为（3，），因此点D为 （2，+2）.

而点C在反比例函数图象上，由反比例函数系数的不变性，得2（+2）=k.

解得k=12.

点评：连接CE后，便出现基本结论：“连接平行四边形边上的点与对边两端点所成的三角形的面积是原平行四边形面积的一半”，正是这个结论的运用，为解题起承上启下的作用.

方法2：比例线段法

注意到△ABE和梯形EBCD都在同一直线上，且高相等，根据题设的面积关系可求出线段AE和DE的长度之比，再过点D作出平行于x轴的平行线，出现比例线段，易求出点D的横坐标，为解题带来曙光.

解：如图7，设AD与BC之间的距离为h，则S△ABE=AE·h，S梯形BCDE =（DE+BC）·h.

由条件“四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍”知，（DE+BC）h=5×AE·h

又BC=AD=AE+DE ， DE+AE+DE=5AE ，∴DE=2AE.

图7

过D点作DM⊥y轴于M，

由DM∥AO，知=，

∴DM=2AO=2.

因此D点的横坐标为2.设D点的坐标为（2，b）.

同方法一，过C、D作y轴、x轴的平行线交于点H，

易知△ABO≌△DCH（AAS）， ∴DH=AO=1，CH=OB=2，

那么点C的坐标为（3，b-2）.

又点C、D均在y=的图象上，

由反比例函数系数k的不变性可得2b= 3（b-2），解得b=6.

∴k=2b=12.

点评：？荀ABCD可看成是三角形与梯形的和，这两个图形有一条边均在同一直线上，且它们有公共高.由面积关系，则相关的线段的比值可求出.再根据平行线及平移的知识可实现有效解题.

方法3：中心对称法

由AB∥CD，结合平行四边形的性质“对边相等，对角相等”，过点D作BE的平行线，这样又出现一个新的平行四边形BEDF，有△ABE≌△CDF，再结合面积关系求出点D的横坐标.

解：如图8，过点D作DF∥BE交BC于F，易知四边形DEBF为平行四边形，则DE=BF，从而有AE=CF，

又∠DCF=∠EAB， CD=AB ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）.

又四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，

∴？荀DEBF的面积是△ABE面积的4倍.

而？荀DEBF与△ABE有公共边BE，AO为△ABE中BE边上的高，因此可以求出D点的横坐标.

设点D（a，b），则BE·a=4×BE·AO，

又 AO=1，∴a=2.即点D为（2，b）.

根据全等三角形对应边上的高相等，知C到DF的距离CH=AO=1，而DH=BO=2，

那么点C的坐标为（3，b-2）.

而C、D均在反比例函数y=的图象上，则2b= 3（b-2），解得b=6 . ∴k=2b=12..

点评：平行四边形是中心对称图形，通过添加平行线得到另一个平行四边形，运用中心对称的性质便可实现求解.

从上面两例的解答可看出，有些中考填空题（或选择题）看似虽小，但实质蕴含的知识点多，综合性强，要解决它们，须掌握扎实的数学基础知识，对题设和图形进行综合分析，并结合已有的知识逐步转化，最终实现解题.这启示我们，在平时的学习中，不能因题小而不屑一顾，应重视这些“小题”，尽量从不同角度去分析、探究，以沟通各个知识点的联系，实现融会贯通，发展创新思维与探究能力，从而使我们的解题能力得以提高.