基础－结构耦合系统受地震作用的非线性振动

杨志安，常文洁，李高峰

（唐山学院 唐山市结构与振动工程重点实验室，河北 唐山063000）

地震是一种自然灾害，它对建筑物的破坏与基础－结构耦合系统非线性响应有关。其中共振区的动力性质对建筑系统破坏作用的影响明显。地震通常被看做下卧基岩上的周期激震源，通过上卧土层的传递途径再被分解为一系列的激振频率。［1］所以，作用于基础和上部结构的地震荷载与地基土的性质有关，地基参数如土层厚度、剪切波速等的变化，会使结构上地震荷载的性质和量值有明显的差异，从而产生结构地震响应动力性质的差异。特别对于非线性动力系统，地基参数引起的地震荷载变化，使系统的地震响应产生显著差别。只有把地基和结构作为整体系统来考虑，记入土体－结构的动力相互作用，才能够真实反映地基性质对结构地震特性的影响。［2－3］以下以文献［4－6］为基础，从系统能量出发，将基础－结构作为整体考虑，应用分析力学原理推导系统的非线性动力方程，而后应用多尺度法分析系统的三频率组合共振问题，并进行数值计算，比较系统不同参数变化对共振曲线的影响。

1 基本方程

图1所示为基础－结构耦合系统受地震激励的简化动力模型。其中地基为均匀的弹性土层，地震作用为下卧基岩的水平运动。与土体相比，结构的整体刚性较大，可以把结构视为地基上的质点－弹性杆（即弹簧）体系。图1中，H代表地基土厚度，m代表质点的质量，k代表结构的等效弹簧系数，s（t）代表质点相对于地面的位移，ug（t）代表基岩的水平振动位移，η代表粘滞阻尼系数。

图1 基础－结构耦合系统地震分析动力模型

将结构和土体上的水平地震力可分别表示为

式中Pm＝αmg，g代表重力加速度，α代表水平地震影响系数；Pρ＝αρg，ρ代表土的质量密度，ω代表地震激振频率。结构弹簧的性质与结构材料的性质有关，为了反映结构材料的非线性，把弹簧视为具有恢复力－变形关系的非线性弹簧，即

式中β代表弹簧的非线性因子。对于硬弹簧和软弹簧的情况，β分别取正负值。

地基土对地震的反应为水平剪切运动，相对于基岩的剪切位移为u＝u（z，t）。以下把基础和结构作为系统整体考虑，从能量角度出发，截取一定范围进行计算，由分析力学拉格朗日方程导出系统在地震作用下的非线性动力学方程。当截取的计算范围很大时，得到系统的动力学方程

其中

由式（3）解得

令t＝0时，q1（t）＝0，1（t）＝0，将其分别代入上式，得

所以

同理

将式（7）和式（8）代入式（5），得

其中

2 基础－结构耦合系统的三频率组合共振理论分析

以下以ω0≈ω＋ω1－ω2为例，分析组合共振，引入组合共振调谐参数σ，上述共振关系可表示为

由多尺度法［7－9］得消除永年项的条件为

引入

将式（13）中第一式代入（12）得

将式（13）中第二式代入上式并整理得

分离实部虚部后得到组合共振的慢时变振幅a和相位φ应满足的自治微分方程组

其中

为确定对应稳态运动的定常解幅频响应方程，在式（16）中令D1a＝0，D1φ＝0，得到振幅a和相位φ满足的代数方程为

两式平方后相加消去φ，得到组合共振的幅频响应方程和相频响应方程：

式（19）可以表示为

由式（19）可得组合共振的最大振幅：

它发生在

将方程（16）在（a，φ）处线性化，形成关于扰动量Δa和Δφ的自治微分方程：

利用式（18）消去上式中的φ，得到

进一步得到特征方程：

对于μ＞0，由Routh－Hurwitz判据可得定常解失稳的条件：

3 数值计算与结果分析

由式（10）和式（11）得

按式（21）可以绘制计算系统组合共振的各种响应曲线。图2至图7为不同参数条件下系统组合共振的幅频响应曲线。

图2 幅频响应曲线

图3 幅频响应曲线（ξ）

图4 幅频响应曲线（H）

由图2可知此种组合共振幅频响应曲线不存在跳跃和滞后现象。图3反映阻尼比对系统组合共振幅频响应曲线的影响，由图3可知减小阻尼比可以增大系统组合共振的振幅和共振区。图4反映地基土层厚度对系统组合共振幅频响应曲线的影响，由图4可知减小地基土层厚度可以减小系统组合共振的振幅和共振区，H的变化会引起共振区的强烈变化。图5反映剪切波速时系统组合共振幅频响应曲线的影响，由图5可知剪切波速越大，系统组合共振的振幅和共振区越小。图6当改变弹簧非线性因子β的符号时，考虑振幅a与调谐值σ间的关系。从图6中可以看出，只要β的数值确定，无论其是正还是负，系统的组合共振幅频响应曲线均重合。结合式（29）可知，激励幅值随小参数ε的变化而变化，但是弱非线性的条件要求小参数ε的取值不应过大。当改变小参数ε时，考虑振幅α与调谐值σ间的关系。图7为3种不同小参数取值时对应的系统组合共振幅频响应曲线。由图7可知，随着小参数的增大，系统组合共振的振幅不变，但共振区相应减小。

图6 幅频响应曲线（β）

图7 幅频响应曲线（ε）

4 结论

应用常微分方程理论，将三自由度基础结构耦合系统受地震激励动力学方程，变换为单自由度受三频激励的杜芬方程。采用非线性振动的多尺度法，求得系统三频率组合共振的一次近似响应曲线，分析了系统参数对共振响应曲线的影响。小参数变化会引起激励幅值的变化，这是此种组合共振的特征。系统组合共振的振幅随着地基土层厚度的增加而增加，随着地基剪切波速的增加而减小，且这两种地基参数对共振区的影响较明显。这一点在基础选址和工程动力学设计中要给予重视。

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