极小子流形的相关研究

王 庆

(苏州市职业大学 马列与公共教学部，江苏 苏州 215104)

极小子流形的相关研究

王 庆

(苏州市职业大学 马列与公共教学部，江苏 苏州 215104)

本文主要涉及极小子流形的相关研究。通过对子流形结构的深入了解，本文使用calibrated几何中提出的calibration，来得到极小子流形。进一步，以Rk+h中的极小锥面为例，可以得到欧氏空间中的极小超曲面。

子流形;calibration;极小锥面

0 引言

自从Euler研究面积最小的旋转面以及Lagrange首次导出极小曲面方程以来，极小曲面论题已经历了二百多年的发展，许多数学家在这方面做出了杰出的工作，如Chern［1］，Douglas［2］等。国内外学者对极小子流形的研究充实了微分几何，对诸如拓扑学、几何测度论等相关学科的发展作出了贡献。Calibration是Harvey与Lawson等人1982年［3］中开始系统研究的，它是研究子流形的有力工具。Federer等用Kahler形式给出calibration;Gluck等用Euler形式给出calibration，并研究了Grassmann流形上用Pontragin形式作为calibration的积分子流形。近年来理论物理学家在M-理论的研究中，也开始引用这一结果。通过对子流形［4］和超曲面［5］结构的深入了解，本文使用calibrated几何中提出的calibration，来得到极小子流形。进一步，以Rk+h中的极小锥面为例，可以得到欧氏空间中的极小超曲面。

1 极小子流形

N

黎曼流形(N，)中的m维浸入(设f:M→)子流形M，若它的平均曲率处处为零，则M是极小子流形。进一步，若M是紧致带边有向等距浸入光滑流形，定义它的任意一个固定边界的变分F:M×(－ε，ε)→N，则由Ft的体积给出函数V(t)=Vol(M，(Ft)*)得到体积的第一变分公式:

其中子流形f:M→N的平均曲率向量为H，F的变分向量为ω，子流形M的体积元素为dV。体积的第二变分公式:

则M是欧氏空间中极小超曲面。

2 Riemann流形上的Calibration及其积分子流形

3 极小超曲面和Calibration

定理欧氏空间Rn+1中某区域上的calibrationξ可以得到Rn+1中的极小超曲面。

‖ξ‖ =1，计算可得

则ξ为D×R⊂Rn+1上的n－形式。

例下面讨论Rn=Rk×Rh(n=k+h)中的锥面

由

我们得到Rk+h中区域a|y|2－|x|2+x21≥0上的(n－1)－形式

由定理3可知，Ck，h为Rk+h中的极小锥的条件为dξ=0，即

为极小锥面。Rn+1上的calibration局部可以决定Rn=Rk×Rh中的极小锥面Ck，h。

［1］S.S.Chern.Minimal Submanifolds in a Remannian Manifold［A］.Shiing-shern Chern Selected Papers［C］.Vol.4，New York:Springer-Verlag，1989:399-402.

［2］Douglas J.，Minimal surface of higher topological structure［J］.Ann，Math，1939(40):205-248.

［3］F.R.Harvey，H.B.Lawson.JR.Calibrated geometries［J］.Acta Math，1982(148):47-157.

［4］何太平，罗宏.常曲率空间中具正Ricci曲率的子流形［J］.数学年刊A辑，2011(6):679-686.

［5］高秀娟，朱颖莉.关于曲面在一点邻近的结构研究［J］.长春大学学报，2006(6):23-26.

Correlation Research on Minimal Submanifolds

WANG Qing
(Department of Marxism and Public Courses，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper mainly studies the theory of minimal submanifolds.By means of the structure of submanifolds，it uses calibration in calibrated geometry to get the minimal submanifolds.In addition，by taking the minimal conical surface in Rk+has an example，it gets the minimal hypersurface in Euclidean Space.

minimal submanifold;calibration;minimal conical surface

O189

A

1009-3907(2013)10-1283-03

2013-09-18

王庆(1979-)，男，江苏扬州人，讲师，主要从事微分几何与数学模型方面研究。

责任编辑:

程艳艳