基于跖跗围参数的鞋楦曲面重构

赵 宝， 胡小春， 张晴晴

（合肥工业大学机械与汽车工程学院，安徽 合肥 230009）

鞋楦是制作鞋靴的模具，不仅影响鞋靴的款式及造型的美观，而且在很大程度上决定了成鞋的合脚性和舒适性。通过级放系统生产出的不同型号的鞋子会或多或少影响穿着的舒适性和合脚性。为了满足消费者对鞋的样式、舒适性的要求和提高制鞋企业竞争力，鞋的个性化定制日趋重要。目前关于鞋楦个性化定制的研究基本沿着两个技术路线：一是参照脚的扫描数据模型对鞋楦数据模型进行重构，设计出较符合人脚的鞋楦，缺点是自动化程度较低、工作量较大[1-6]；二是根据个性化需求，参数化设计修改鞋楦各特征参数值[7-8]，然后将特征参数映射到整个鞋楦曲面上。对于第二种技术路线，基于鞋楦围度参数的鞋楦曲面重构是其中一个关键技术。

鞋楦围度决定了鞋楦肥瘦，是影响成鞋穿着合脚性、舒适性的主要因素之一。基于鞋楦围度参数的鞋楦曲面重构是实现鞋楦个性化定制的重要技术内容。2009年王青等提出基于单、多截面曲线约束的鞋楦曲面变形技术对鞋楦曲面进行重构[7]。由于该方法对总围长的约束依赖于构造的函数曲线，难以准确实现对总围长的约束，且易改变楦面的凹凸特征和楦底中轴线形状。2011年Jin Wang等提出了快速个性化鞋楦CAD的方案，通过修改鞋楦上的一些特征点及轮廓线来修改鞋楦围度[8]，并需要通过手工绘制扩散曲线将局部变换扩散到整个鞋楦曲面上，难以提高自动化程度。

基于围度参数的鞋楦曲面重构技术，着重于实现以下几个方面的最佳：重构的鞋楦曲面不仅要保持鞋楦曲面的光顺，还要保持原有鞋楦曲面凹凸特征和美学特征、特别是楦底中轴线这个鞋楦重要特征；算法能够在软件中实现可视化交互操作，实现较大程度的自动化。文中介绍了以跖跗围截面曲线的高度、围长为参数的截面个性化设计，和将跖跗围截面变换平滑过渡到整个鞋楦曲面的两种样条扩散函数。最后，介绍了算法在Matlab软件中的实现和应用。

1 鞋楦模型结构定义

通过三维扫描器采集得到鞋楦曲面的点云数据，该数据是由一系列沿着楦长方向且含有相同点数的规则数据圈所构成，在坐标系中位置如图1所示。

图1 鞋楦数值模型

鞋楦的跖跗围是鞋楦的两个关键部位，是衡量鞋楦肥瘦的重要标志。楦跖围指的是楦第一跖趾内宽点和第五跖趾外宽点间的围长，楦跗围指的是楦的腰窝外宽点绕过楦背一周的围长[9]。

如图2所示，鞋楦中轴面（鞋楦纵剖面）与鞋楦曲面相交得到鞋楦的中轴线，即图2中曲线HIJKH，其中KH曲线段是鞋楦的楦底中轴线。鞋楦楦面与楦底的交线称为楦底轮廓，根据鞋楦数据中楦底轮廓处的曲率半径较小特点提取[10]。

图2 鞋楦结构定义

跖跗围曲线与楦中轴线的交点连线可得两楦围高，与楦底轮廓线的交点连线可得两楦围宽。首先通过截面变换将跖跗围截面曲线的总围长、高度变换到个性化需求的目标值，然后构建扩散函数将两围截面的变换效果沿楦中轴线及楦底轮廓线扩散至整个鞋楦上。

2 鞋楦曲面重构

2.1 鞋楦截面变换

通过对鞋楦跖跗围截面的变换来达到对鞋楦围度参数的修改。如图1所示，鞋楦跖跗围截面分别与若干鞋楦数据圈截面相交，它们的形状、方位与位于其中间位置的鞋楦数据圈截面基本一致。为计算方便，可用分别位于跖跗围中间位置的鞋楦数据圈截面作为鞋楦的跖跗围截面分别进行下述变换。以下不失一般性地以任一截面展开对截面变换过程的叙述。

如图3所示，在鞋楦数据圈截面内建立局部坐标系，其y轴通过鞋楦中轴线面与截面曲线的交点连线AC，x轴通过楦底轮廓线与截面曲线的交点连线DB，原点O由两轴交点确定

图3 鞋楦截面上局部坐标系

在局部坐标系内，记整个截面曲线ABCDA为wC，它由底部截面曲线段bC(BCD)和顶部截面曲线段tC(DAB)组成。设OA、OB、OC、OD的变换比例（变换后的模长与变换前的模长之比）分别为S1、S2、S3、S4。由于曲线段bC的凹凸性是一鞋楦比较重要的特征，设定约束S2=S3=S4，以保证截面曲线段bC的凹凸性不变且左右截宽(OD、OB)等比例扩缩。

设截面曲线的初始围长为 )(wCLl= 、初始高度为h(||AC||)，变换后的目标围长为Lw、目标高度为H。截面变换过程为：依据参数S1、S2取值，构建变换函数3,2,1Φ:对截面进行变换，使得变换后的截面曲线满足式(1)约束：

其中，1Φ仅对曲线段tC进行变换：

p=(px,py,pz)∈R3，为鞋楦模型的三维坐标点；仅对曲线段bC进行变换：

变换比例参数S1、S2的确定：根据鞋楦围线变化的可能性，这两个比例参数应在 1±δ之间变化，δ是一个小量。首先，确定合适的S2数值。对选定的初始范围[q1q2]，令S2以步长t变化，只要选取的步长t适当小，由此产生的误差将不影响精度。参数S2的数学式可以描述为：

鞋楦截面变换的流程结束时输出的截面变换比例就是符合设计需求的跖跗围截面变换的比例，分别记跖截面两项变换比例为：s11,s12，跗围截面两项变换比例为：s21,s22。

图4 变换比例参数S1、S2确定流程图

2.2 构造扩散函数

为将跖跗围截面变换效果平滑过渡到鞋楦每数据圈曲线上，以跖跗围截面变换比例为基准构建扩散函数，用以确定鞋楦各数据圈对应的截面变换比例。对截面变换中的两项变换比例系数分别构建扩散函数进行扩散控制。

为保证鞋楦曲面形状和质量，选取三次样条插值函数来构造扩散函数。它由多段三次曲线拼成，在拼接点满足二阶连续。既能克服高次多项式插值缺陷，又能保证曲线光顺性。

根据鞋楦设计的需要，构造了局部、整体两类扩散函数。局部扩散函数对两围截面变换进行局部扩缩，楦头、楦尾的曲面形状保持不变。整体扩散函数将两围截面变换扩散至整个鞋楦曲面。

局部扩散函数(P1)：

对鞋楦的两围进行局部扩散，保持楦头、楦尾曲面的形状。局部扩散函数曲线由七插值节点的三次样条函数构建，如图5所示，图中的x坐标值对应从楦头至楦尾的鞋楦数据圈，n表示鞋楦数据总圈数，x2、x4对应经过跖跗围截面变换的鞋楦数据圈序号。扩散函数首尾及跖跗围截面数据圈处对应的节点坐标为：

其中，i=1, 2，分别对应两围的第一项变换比例（s11，s21）和第二项变换比例(s12,s22)。本节后面的i取值、含义同上。扩散函数的首尾节点的函数值为1，保证了鞋楦首尾截面形状不变。为了保证在楦头端点、楦尾端点处的扩散函数平滑过渡，约束其在这两处的一次导数为零，即：

在上述4个节点之间的另外3个节点(x1,x3,x5)设置为可控节点，方便后期通过人机交互实现对扩散函数曲线的变形控制。在构造初始扩散函数时，设置这3个可控节点为相邻两节点的中间点。

图5 局部扩散函数

整体扩散函数(P2)：

实现将跖跗围截面的变换比例在整个鞋楦上进行等比例的扩散。该函数是由5个节点的三次样条函数构建，如图6所示。扩散函数首尾及跖跗围截面数据圈处对应的节点y坐标值分别为：

首尾处的一阶导数为零：

(x2,P2(x2))为可控节点，初始坐标值设置为这相邻两节点的中间坐标值。

图6 整体扩散函数

2.3 楦底中轴线恢复

经过上述重构鞋楦曲面楦底中轴线形状已变动，因楦底中轴线是鞋楦的重要特征，需对重构后鞋楦数据予以恢复原楦底中轴处理。令重构前的楦底中轴线数据为Z1，重构后楦底中轴线数据及整楦数据分别为Z2、Q。恢复楦底中轴线后的鞋楦数据的实现过程可表述如下：

式中i∈ [1 , 2,3,…n]，n为鞋楦数据的总圈数。

3 算法实现与试用结果

应用本文提出的算法，采用matlab软件编制了基于楦围参数的鞋楦曲面可视化重构的应用程序，其主界面如图7所示。通过输入跖跗围的目标围长及其截面高度变化值、选择局部或整体扩散方式、并且交互设计合适扩散函数曲线，便能设计出符合目标围度参数的鞋楦，实现对鞋楦跖跗围进行可视化的参数修改。

图7 基于楦围参数的鞋楦曲面重构界面

对应用程序进行了试用：原样楦跖跗围分别为 241mm和 250mm，变换后跖跗围长分别为245mm和248mm，跖跗围截面高度改变量分别为 2mm、1mm。如图 8所示，分别给出采用局部扩散函数和整体扩散函数所对应的重构样楦曲面。其中的鞋楦曲面颜色映射图反应了重构后每圈鞋楦数据相对于原鞋楦对应圈数据中心的距离变化值，可以看出重构后的楦高有所增加。局部扩散和整体扩散的区别反映在两图中的两围截面的变换在向楦尖端点和统口后端点扩散时的不同。

为了分析鞋楦曲面的重构对其光顺性的影响，进行了重构前后鞋楦曲面的高斯曲率的变化率（Δr：重构前后高斯曲率差值与重构前相应曲率值之比）的计算和统计，结果如表1所示。可以看出重构后鞋楦曲面的高斯曲率变化率在可接受范围内，能很好的保持原鞋楦的曲面光顺性，保证鞋楦的制作工艺要求。

表1 重构后鞋楦数据点Δr分布

4 总 结

本文提出并实现了一种基于鞋楦跖跗围截面的围长及高度参数控制的鞋楦曲面重构方法，是鞋楦个性化CAD系统的一个重要部分，能完善鞋楦级放设计的不足，推动鞋楦个性化设计的发展。利用本工作成果的可视化设计界面，设计者只需输入围长和高度改变量的目标值，并通过交互式拖动控制点构造合适的扩散函数，即可实现基于鞋楦两围长的鞋楦曲面重构。设计的两类扩散函数能适应不同需求。扩散处理后的鞋楦曲面光顺性都较好。

图8 鞋楦曲面重构效果图

[1]胡小春, 施豪亮, 万孝军. 基于足部压力分布的个性化鞋楦 CAD研究[J]. 轻工机械, 2009, 27(4):43-45.

[2]徐从富, 刘 勇, 将云良, 潘云鹤. 个性化鞋楦CAD系统的设计与实现[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2004, 16(10): 1437-1441.

[3]Leng J, Du R. A CAD Approach for designing customized shoe last [J]. Computer Aided Design &Applica-tions, 2006, 3(1-4): 377-384.

[4]史 辉, 王伯雄, 贾倩倩, 罗秀芝. 定制鞋楦的分段自适应修改[J]. 光学精密工程, 2009, 17(4):880-885.

[5]Xiong Shuping, Zhao Jianhui，Jiang Zuhua, Dong Ming. A computer-aided design system for foot-feature-based shoe last customization [J]. Int J Adv Manuf Technol, 2010, 46: 11-19.

[6]胡小春, 万孝军, 王希杰, 施豪亮. 基于足部 CT图像的个体鞋楦的参数化设计[J]. 工程图学学报,2009, (6): 10-14.

[7]王 青, 耿卫东, 鲍虎军. 基于曲线约束的鞋楦曲面变形技术[J]. 机械工程学报, 2010, 46(9):158-164.

[8]Wang Jin, Zhang Haining, Lu Guodong, Liu Zheng.Rapid parametric design methods for shoe-last customization [J]. The International Journalof Advanced Manufacturing Technology, 2011, 54:173-186.

[9]孙 毅, 丘 理, 张利国, 金广华. 中国标准鞋楦设计手册[M]. 温州: 中国纺织出版社, 2008.

[10]Hu Xiaochun, Dong Liang, Zhai Yalei , Hu Zhixing.Automated extraction of the shoe lasts contour [C]//2011-2nd International Conference on Artificial Intelligence Management Science and Electronic Commerce, 2011: 226-229.