RS码的实际应用及编译码器设计实现

宋 君， 文 磊， 雷 菁， 李文雯

（国防科学技术大学 电子科学与工程学院，湖南 长沙 410073）

0 引言

自从香农定理提出以后，人们一直在寻找一种性能好、实现简单的纠错码，但是事实是，性能好的码字其编码复杂度越高，难于在实际的设备中使用。在众多的纠错码中，RS码已被很多领域证明是一种极具优势的好码，由于 RS码是一种线性分组码，因此可以纠正随机差错，RS码又是一种多进制码，所以在纠正突发差错的能力，RS码是一种循环码，实现简单，这些优点使得 RS码是最优的线性分组码，也是很多领域中应用具有很好前景的码字，目前 RS码在智能探测车通信模块中、水声通信技术、低频导航系统、超短波通信、车载无线通信、空空导航遥测系统、IPTV（网络电视）以及现代数字电子技术领域中都有应用，并且已被验证过在应用中具有非常良好的性能，能够更好的完成预达目的，所以 RS码将在未来具有很强的应用优势和发展空间。

1 RS码编码实现

图1 多项式除法电路

基于如上的除法电路，可以得到如图 2的 RS码编码电路。

图2 RS码编码电路

具体的编码过程如下：

1）2t个移位寄存器的初态全为0，开关0闭合，开关1打至a端。信息组以高位先入的顺序进入电路，一路直接经编码输出端输出，另一路送入 ()g x的除法电路，即完成了的运算。

2）k次移位后，信息组全部输出，同时它也全部进入除法电路完成相应的除法运算。移位寄存器中存储的数值即为余式 ()r x的系数，即 RS码的校验元。

3）开关0打开，开关1打至b端，移位寄存器中的校验元经过2t次移位后跟在信息组后面输出，形成一个已完成编码的完整码字。

4）开关0闭合，开关1打至a端，送入下一个信息组重复上述过程[1]。

根据以上电路设计实现 RS码编码器。设某个RS码的信息元个数为k，校验元个数为2t，生成多项式为代表编码电路中的移位寄存器，其中则校验元的计算流程如图3所示。

在完成以上的流程后，2t个移位寄存器中存储的结果即为 RS码编码信息序列所对应的校验元。将原始信息序列与校验元排列为系统码的形式，即可得到一个RS码的完整的码字[2]。

基于以上内容，编程实现了RS码的编码函数，并将其与MATLAB软件中内置的RS码编码函数进行比较，结果如表1所示。

由表2可以看出，自编函数的编码结果与内置函数的编码结果完全相同。

图3 RS码校验元计算流程

表1 两种编码函数的编码结果

2 RS码译码的BM算法实现

在BCH码和RS码的译码问题主要归结于一个关键方程的求解，即错误位置多项式的求解。各种译码算法实际上也是错误位置多项式的求解而展开。由于BM算法适合于软件实现，因此被应用于本文，并在以下进行详细深入的讨论。

设上文中提到的错误位置多项式有如下形式：

很显然可以看出，错误位置数就是()xσ根的倒数[3]。

下面引入表征()xσ的系数和校正子分量之间关系的方程，即广义牛顿恒等式：

设第μ次迭代确定的最低次数多项式为()()xμ σ =,使其满足如下lμμ-个恒等式：

重复以上步骤，直至完成2t步迭代。在第2t步迭代中，得到：

当码元中的错误数目不超过t时，这个多项式就是所求的错误位置多项式[4]。

如果 0dμ= ，设；如果 0dμ≠ ，需要对做出相应的修正。先返回第μ次迭代前的各步，确定多项式()()xρ σ ，使得 0dρ≠ 且 lρρ-具有最大值，lρ表示多项式()()xρ σ 的次数，然后令：

在非计算机运算中，()xσ迭代过程表可以帮助更好地理解BM算法的迭代过程，也可以避免因较多的运算而造成的计算错误。()xσ迭代过程表如表2所示。

表2 迭代过程表

表2 迭代过程表

μ()xσdμ lμlμ μ--1 1 1 0 -1 0 1 1S 0 0 1 2⋮2 t

编程实现BM算法的具体步骤如下：

1）初始化。令(1)()1xσ-=，11d-=，10l-=；

3）计算1dμ+进行下一次迭代，重复步骤2直至

BM算法的流程图如图4示。

图4 BM算法流程

3 仿真比较分析

在对基本理论知识加以掌握和了解的基础上，使用MATLAB软件构建了RS码编译码器的仿真平台，并对RS码的纠错性能进行了仿真。

首先将自编的RS码译码函数性能与MATLAB内置 RS码译码函数性能相比较。设 5m= ，码长，纠错能力为 3t= ，发送端发送的为全0码字，采用BPSK调制方式，模拟信号在二元对称信道上传输，信道的信噪比从4 dB至7 dB递增。两种译码实现的性能如图5示。

由图5曲线可以看出，在相同信道条件下，两种译码实现的误码率在数量级上基本保持一致。因此得知，自编RS码译码函数性能与MATLAB内置RS码译码函数性能大致相同。但在实验中发现，尽管在性能上保持大致相同，但是自编函数在运算速度上不及MATLAB内置函数[7]。

图5 3m= 时两种译码实现性能的比较图

图6 RS码纠错性能

由图中曲线可以看出，传输信号的误码率总体上随信噪比的增加而降低。在高信噪比的条件下，RS码具有较为理想的纠错效果，能够保证接收到的码字在纠错后具有较低的误码率。但在低信噪比条件下，由于噪声的增强，可能出现误码个数超出纠错能力的情况。在这种情况下，RS码不仅不能实现纠错，甚至在误码个数超过码的最小距离时，可能将接收到的码字译成另一个与原始码字完全不同的码，从而造成更大的误差。同时也可以看出，在码长相同的条件下，t值越大码的纠错性能越好。在具体工程实践中，需要根据信道的实际情况和对通信质量的具体要求，选择合适的码形[9]。

4 结语

本文主要介绍了 RS码的实际应用和编译码器的设计实现。在编码方面，首先介绍了 RS码编码的基本原理，然后引入了使用生成多项式 ()g x编码的n k- 级编码器，它基于多项式的除法电路构建，能够生成所需要的系统码。在译码方面，详细分析了 RS码译码算法中较为典型、也是在本项目中使用的BM算法，包括基本原理、具体步骤、算法流程等几个方面。最后，依托 MATLAB软件搭建的RS码编译码器仿真平台对RS码的纠错性能进行分析，得到相应的结论。在此过程中，所使用的仿真函数都是自编函数，并将自编函数的性能与MATLAB软件内置函数的性能进行了比较。

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