构造中间曲线加强不等式

湖南省长沙市第十五中学 厉 倩 （邮编：410007）

2012年辽宁高考文科压轴题如下（见例1）：

证明（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜（x－1）；

如果令l（x）＝（x－1），φ（x）＝（x－1），那么在定义域内f（x）≤φ（x）≤l（x）恒成立，本文我们把这样的曲线φ（x）称为f（x）与l（x）的中间曲线.φ（x）与f（x）具有相同的凸凹性，具有相同的切线l（x）.一般的，如果f（x）是复杂的（超越）函数，φ（x）可以是比较简单的（初等）函数，并且符合要求的中间曲线φ（x）的个数较多.这些特点给我们命制鲜活的题目提供了一个新的生长点，也为我们的教学研究提供了一个新的视角.对于例1的第（Ⅱ）小题有当x≥25时，f（x）＞（证明略），以下只研究中间曲线.

例2一般化，有如下例3：

令t＝，则变形可得h（x）＝2t7－t6＋（4n－2）t5－2nt4＋2（mn＋m－3n）t3－n2t2－2n2t＝t（t－1）［2t5＋t4＋（4n－1）t3＋（2n－1）t2＋3n2t＋2n2］（这里利用了）.

因为x＞0，则t＞0，又n≥，则2t5＋t4＋（4n－1）t3＋（2n－1）t2＋3n2t＋2n2＞0，

当x＝1，则t＝1，h（x）＝0，有g′（x）＝0，

当0＜x＜1，则0＜t＜1，h（x）＜0，有g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当1＜x，则1＜t，h（x）＞0，有g′（x）＞0，g（x）单调递增.

证明 只证左边不等式（右边易证），

令t＝，则变形可得h（x）＝t3（t4＋2t2＋9）－2t（t4＋2t2＋1）－t2（t4＋2t2＋1），

h（x）＝ （t－1）（t6－2t3＋3t2＋2t）.

因为x＞0，则t＞0，

当0＜t≤1时，2t－2t3≥0，t6＋3t2＞0，则t6－2t3＋3t2＋2t＞0，

当t＞1时，t6－2t3＋1≥0，3t2＋2t－1＞0，则t6－2t3＋3t2＋2t＞0.当x＝1，则t＝1，h（x）＝0，有g′（x）＝0，

当0＜x＜1时，则0＜t＜1，h（x）＜0，有g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当1＜x时，则1＜t，h（x）＞0，有g′（x）＞0，g（x）单调递增.

仿上可证（略）.