一类具有时滞的病毒自发变异的传染病模型

仝耀华，李录苹

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009）

一类具有时滞的病毒自发变异的传染病模型

仝耀华，李录苹

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009）

考虑一类具有时滞的病毒自发变异的传染病模型，就无病平衡点的局部稳定性和全局稳定性进行了详细的分析。

时滞；传染病模型；平衡点；稳定性

在现实生活中有些常见的传染病往往随着病情的发展，病毒自身会发生变异，从而导致不同阶段的病毒具有不同的传染力。根据文献[1-2]给出了的传染病模型：

假设所有输入者都是t时刻易感者，数量为S=S（t）。把所有感染者分为两类：一类为t时刻变异前病毒感染患者，数量为I1=I1（t），简称为变异前患者，治愈后又成为易感者，同时有部分变异前患者未能治愈而发展成变异后患者；一类为t时刻变异后病毒感染患者，数量为I2=I2（t），简称为变异后患者，治愈后也又成为易感者。这两类患者均具有传染力，同时假设疾病不足以导致死亡。

其中A表示总人群的输入率，μ表示自然死亡率；β1和β2分别表示变异前患者和变异后患者的传染率系数；γ1和γ2分别表示变异前患者和变异后患者的恢复率系数；ε表示变异前患者发展为变异后患者的速率系数。所有参数均为正。

基于对上述模型的的研究，结果表明：当变异前患者和变异后患者的基本再生数均不超过1时，疾病会最终灭绝；当变异前患者的基本再生数小于变异后患者的基本再生数，且至少有一个大于1时，最终只会在变异后患者存在；当变异前患者的基本再生数大于变异后患者的基本再生数，同时还大于1时，变异前患者和变异后患者会以某一确定的量共存于人群之中。

而有些时候，病毒由变异前到变异后会有一个时间差τ，所以在上述所有假设不变的情况下建立如下模型：

令N（t）=S（t）+I1（t）+I2（t），

则有

将S（t）=N（t）-I1（t）-I2（t）代入传染病模型（1）中的第二个和第三个方程，

可得

对于平衡点的分析

首先讨论非负平衡点的稳定性。

若条件

[λ-（β1K-α1-εe-λτ][λ-（β2K-α2]=0,

则有

（Ⅰ）当β2K-α2＜0且β1K-α1-ε＜0时，无病平衡点E0（0，0）是局部渐近稳定的。

（Ⅱ）当β2K-α2＞0或β1K-α1-ε＞0时，无病平衡点E0（0，0）是鞍点。

另外，通过构造适当的Lyapunov函数，还可以得到无病平衡点E0（0，0）的全局渐近稳定性。

定理1若β2K-α2＜0且β1K-α1＜0成立时，无病平衡点E0（0，0）是全局渐近稳定的。证明构造Lyapunov函数

V=I1+I2,

沿着极限系统（4）对求导数得I1（t）β1K-I21（t）-I1（t）I2（t）-α1I1（t）+ I2（t）β2K-I1（t）I2（t）-I22（t）-α2I2（t）≤I1β1K-α1I1+I2β2K-α2I2≤0。

而V=0当且仅当（I1，I2）=（0，0），则无病平衡点E0（0，0）是全局渐近稳定的。证毕。

即

A1=-β1I1，B1=-β2I2，

C1=β1K-2β1I1-β2I2-α1，

D1=β2K-β2I1-2β2I2-α2,

【1】τ=0

【2】τ≠0,

考虑下面特征方程

P和Q分别为n次和m次的实系数多项式，τ是非负常数。Cooke等[3-4]已得到如下结果：

引理1考虑特征方程（8），其中P和Q是λ在右半平面Reω＞-δ，δ＞0的解析函数，若满足如下假设

（1）P和Q没有共同的纯虚根；

（3）P（0）+Q（0）≠0；

（4）当τ=0时，方程（8）的右平面至多有有限个根；

（5）对任意实数y，方程F（y）=｜P（iy）｜2-｜Q（iy）｜2至多有有限个实根。

则有下面的结论

（a）若方程F（y）=0没有正根，则当τ=0时，若系统（8）稳定，则对所有的τ≥0仍然是稳定的。

（b）若方程F（y）=0至少有一个正根且每个正根都是单根，则随着τ值的增加，系统（8）将会发生稳定性开关现象，即存在一个正数τ*，当τ＞τ*时，系统（8）是不稳定的。当τ从0到τ*改变时，系统（8）至多存在着有限个稳定性开关。

把方程（6）重新写成下面的形式

其中P（λ）=λ2-（C1+D1）λ+C1D1-A1B1，Q（λ）=ελ－（D1+ A1）ε，容易验证系统（9）满足引理1的条件（5），为了考察非负平衡点E2，）的稳定性，需要分析下面方程存在正根的情况：

其中

R1=-2（C1D1-A1B1）+（C1+D1）2-ε2，

R2=（C1D-A1B1）2-（D1+A1）2ε2，

则方程（10）的正根有下面两种情形：

令z＝y2，并记

h（z）=z2+R1z+R2,

则

△=R21-4R2。

命题1若△=R21-4R2＜0，F（y）=0，则方程（10）没有正根。

命题2若△=R21-4R2＜0，h（0）≥0，F（y）=0，则方程（10）至少有一个正根且为单根。

由于当τ=0时，非负平衡点E2，）是局部渐近稳定的，所以可以由命题1和命题2及引理1得到下面的结果：

[1]马知恩.生态学的数学建模与研究[M].合肥：安徽教育出版社，2001.

[2]杨亚莉，李健全.一类病毒自身发生变异的权无染病模型的全局分析[J].生物数学学报，2008，23（1）：102-106.

[3]Cooke K L，van den Driessche.On zeros of some transcendental equations[J].Funkcial Ekvac，1986（29）：87-90.

[4]李锐，薛亚奎.一类具有非线性传染率的时滞SIR模型的分析[J].数学实践与认识，2009，39（15）：98-104.

〔责任编辑 高 海〕

The Time Delay Epidem ic Modelw ith Spontaneous Virus Variation

TONG Yao-hua,LILu-ping
（School ofMathematics and Computer Science,ShanxiDatong University,Datong Shanxi,037009）

This paper considers a time delay epidemic model with spontaneous virus variation.It analyzes the local and global stability of disease-free equilibrium point in detail.

time delay；epidemicmodel；equilibrium point；stability

O212.4

A

2013-05-15

仝耀华（1979-），女，山西大同人，硕士，讲师，研究方向：生物数学。

1674－0874（2013）05－0020－03