物体沿圆轨道下滑的计算

解廷月，温丽霞，孙 祝，王 萍

(山西大同大学物理与电子科学学院，山西 大同 037009)

物体沿圆轨道下滑的计算

解廷月，温丽霞，孙 祝，王 萍*

(山西大同大学物理与电子科学学院，山西 大同 037009)

物体沿圆轨道下滑过程中摩擦力做功的计算，在力学中会经常遇到，也是一个比较简单的问题。我们用的传统方法是功能原理。本文则利用变力做功的定义和质点动能定理，在一些物理量未知的情况下，也可以对变力做功问题进行综合计算。计算过程中用到了高等数学中的分部积分和解一阶非奇次微分方程等一些数学知识，还运用计算机数学语言matlab进行求解方程，并制作出函数的二维图象。

功能原理；功的定义；计算机语言

在力学中，我们经常遇到一个物体沿着1/4圆轨道滑动，由于物体在此过程中会受到摩擦力，因此我们需要计算这个过程中的功。一般的解决方法也是比较方便的方法是利用功能原理进行计算。本文则对文献[1][2][3]中的方法进行了讨论，并提出运用计算机数学语言matlab进行求解方程。

设一个物体初速度为零，它的质量为2 kg，它顺着1/4的圆弧滑下，如图1所示。已知圆的半径R=4 m，物体在B处的速度是V=6 m/s，求解物体在下滑过程中摩擦力所做的功[3]。

图1 物体沿圆轨道下滑

解：根据题意可知在物体从A到B的过程中受到重力G→的作用，而且还受到圆轨道对它的摩擦力F→f和支持力F→N的作用，摩擦力F→f与支持力F→N两个力都不是恒力。支持力F→N处处与物体运动的方向垂直，因此它没有做功，但是摩擦力做功，可是因为摩擦力是个变力，它所做的功不容易计算。想要求摩擦力所做的功，根据功的定义要先求出摩擦力，而要求摩擦力必须先确定物体对轨道的正压力N，即轨道对物体的支持力F→N，对物体进行受力分析如图1。

据牛顿运动定律，在切线方向上可得：

又因

因此在法线方向上可得：由文献[1]可得：

由文献[1]可得：

(5)式表示物体对圆轨道的正压力的变化规律。

当动摩擦系数μ＝0时，即圆轨道为光滑的轨道，那么物体对圆轨道的压力为：

N＝3mg sinθ，

此时摩擦力做功为：

摩擦力做功为零，也就是说光滑圆轨道就可以不计摩擦力。

当动摩擦系数μ≠0时，即圆轨道不是光滑的，摩擦力要做功。把正压力N的表达式代人(6)式，由文献[1]可得

(7)式就是我们所求的物体沿圆轨道下滑过程中摩擦力所做的功。

此方法用了功的定义，但是此方法在动摩擦因素μ未知的情况下，却不能将功的具体数值计算出来。下面的一种方法是首先运用动能定理的微分形式将μ求出来。

由文献[2]可以得出又因θ=π/2，u=V2时，V=6m/s，则

因为(9)式这是一个超越方程，求解比较难。可以运用matlab计算机数学语言进行求解。下面是求解μ值的计算机程序。

因为matlab中英文输入的局限，令μ＝x，则

x=solve(′(78.4*(1-2*x^2-3*x*exp(-pi*x)))/ (1+4*x^2)=36′，′x′)

计算机显示结果(输入源代码之后，不要加分号，就可以直接显示结果)：

x=0.2313154656140709880186918609425

上面解出来的就是物体在B点的动摩擦因数μ，又动摩擦因素是个定值，它体现了材料本身的性质，一般情况下，材料比较粗糙时动摩擦因素大。

求出μ之后将其代入(8)式可以得到速度的平方u与θ的函数关系式，运用计算机matlab制作出函数图象(图2)。下面是计算机程序：

clear；

clf；

μ=0.2313154656140709880186918609425；

x=[0：pi/200：pi/2]；

z=78.4*((1-2*u.^2).*sin(x)+3*x.*(cos(x)-

exp(-2*u.*x)))./(1+4*u.^2)；

plot(z，x)；

hold on；

图2 运用matlab制作出函数图象

在上面的图象中横轴是u，即速度的平方。纵轴是角度θ。此图显示速度随角度的变化。我们知道。在物体沿圆轨下滑时，角度θ是从0到π/2，从图象看出速度随角度先是逐渐增加，达到最大值之后，又逐渐减小了。同时从图象可以看出来当θ＝0时，速度也是0。函数的最大值在30～40之间，取最大值时，对应的角度值在0.8～1之间。

[1]徐信洪.由功的定义式计算物体沿圆弧轨道下滑时摩擦力的功[J].舟山师范专科学校学报：自然科学版，1998，2(1)：36-39.

[2]解廷月，武琦.力做功的求解方法[J].物理与工程，2012，22(2)：49-50.

[3]程守洙，江之永.普通物理学[M].北京：高等教育出版社，2006：85.

[4]漆安慎，杜婵英.力学[M].北京：高等教育出版社，2005：121-135.

[5]邓法金.大学物理学[M].北京：科学出版社，2001：60.

[6]吴百诗.大学物理[M].北京：科学出版社，2001：94-105.

[7]薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的matlab求解[M].北京：清华大学出版社，2004：29-37.

[8]陈怀琛.matlab及其在理工课程中的应用指南[M].西安：西安电子科技大学出版社，2007：31-42.

[9]周培源.理论力学[M].北京：人民教育出版社，1953：45-48.

〔责任编辑 李海〕

(2)使用效果

使用过本系统的教师，都觉得该工具很方便，在进行教学设计的过程中也学习了教学设计的相关理论知识。

参考文献

[1]彭绍东.教学设计自动化的定义与发展述评[J].电化教育研究，2011(1)：24-34.

[2]何克抗.教学设计理论与方法研究评论(下)[J].电化教育研究，1998(4)：29-32.

[3]李龙.教学过程设计的理论与实践[J].电化教育研究，1999(4)：20－26.

[4]任培花，康振峻，王丽珍.Web2.0环境下程序设计课程自主学习平台的设计与实现[J].山西大同大学学报：自然科学版，2012，28(5)：4-6.

[5]李龙.教学设计[M].北京：高等教出版社，2010.

Calculation of the Object along the Circular Track down

XIE Ting-yue，WEN Li-xia，SUN Zhu，WANG Ping
(School of Physics and Electronics Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009)

To calculat e the friction when objects decline along the circular orbit，is often encountered in mechanics，and is a simple problem.T he traditionalmethod w e use is the functional principle.In this paper，with the definition of the variable force acting and the particle kinetic energy theorem，the calculation can change the forces acting in the case of some physical unknown.I n the calculation process the settlement in the higher mathematics of first order non-singular differential equations and other mathematical knowledge are used，the computer language of mathematics matlab for solving equations is also used，and a twodimensional image is prcduced.

functional theory；the definition ofwork；computer language

P159.3

A

2013-04-10

山西大同大学教学改革项目[2012104]；山西大同大学博士科研启动基金项目[2008－B－08]

解廷月(1971-)，男，山西山阴人，硕士，讲师，研究方向：力学；*王萍，女，博士，副教授，通信作者。

1674－0874（2013）03－0028－03