一类离散非线性时滞人口模型的平衡解与渐近性

安存斌，陈慧琴，明亚东

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009)

一类离散非线性时滞人口模型的平衡解与渐近性

安存斌，陈慧琴，明亚东

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009)

文章研究一类时滞差分方程的平衡解与解的渐近性，利用单调有界原理得到解的渐近性的一些充分条件。

离散；时滞；平衡解；渐近性

近几年来，随着微分、差分方程在许多领域都有广泛的应用，并且许多学者已得出大量的成果，如文献[1-4]。受文献[2-4]启发，通过研究一类时滞差分方程的平衡解与渐近性，得出解的渐近性的一些条件。

文献[1]中研究了方程

的平衡解与解的渐近性，但是考虑到文献[1]人口模型无时滞的局限性，在文献[1]的基础上结合文献[2]基本理论讨论时滞方程

相对应的初始条件为

x(-τ)，x(-τ+1)，x(-τ+2)，…，x(1)∈[0，∞)，x(0)＞0(2)的平衡解与解的渐近性。这里设方程(1)满足下列条件：

1)n=0，1，…；

2)p，q，r∈(0，∞)；

由于方程(1)中p，q常数，所以方程(1)满足初始条件(2)的平衡解同文献[1]的方程(1)的解的渐近性一样。

引理若方程(1)满足初始条件(2)的所有解为正的有界。

从而可得

-p+f(x(n-1-τ))＞0，x(nk-1-τ)∈(1，2)。若当x(n-1-τ)∈(1，2)，则有

上面不等式与

矛盾，所以假设不成立。即当f(ω)＞p q时，方程(1)满足初始条件(2)的所有解也有界。

综合上述，方程(1)满足初始条件(2)的所有解为正的有界。定理证毕。

定理1若方程(1)满足初始条件(2)，则其总存在解x(n)，使得

证明方程(1)取初始条件x(i)=x(0)(i＝－τ，－τ+1，…，-1)，其中当x(0)充分小时，可使得

-p＋qf(x(0))＜0，

则有

x(1)=x(0)exp(-p＋qf(x(－τ)))=

x(0)exp(-p＋qf(x(0)))＜x(0)，

x(2)=x(1)exp(-p＋qf(x(－τ＋1)))=

x(1)exp(-p＋qf(x(0)))＜x(1)，

…

x(τ)=x(τ－1)exp(-p＋pf(x(0)))＜x(τ－1)，

…

x(n＋1)＜x(n)，

所以数列x(n)单调递减，又由引理数列x(n)正的有界，所以由数列的单调有界原理得数列x(n)存在极限。对方程(1)两边取极限得

即若方程(1)满足初始条件(2)，则其总存在解x(n)，使得

定理证毕。

下面分三种情况讨论方程(1)的解的渐近性。

x(n＋1)＜x(n)，

所以x(n)单调递减。由文献[1]中证明定理1的方法同样可证(3)成立。定理证毕。

-p＋qf(x(n－τ))≤0，

从而

x(n＋1)=x(n)exp(-p＋qf(x(n－τ)))≤x(n)，所以x(n)是单调不增。根据单调有界原理可得数列x(n)一定存在极限，设

，

此时对方程(1)两边取极限可得

，

则有

∃N1＞0，当n－τ＞N1时，总有x(n－τ)＞，所以

p＋qf(x(n－τ))＜0，

因此得

x(n＋1)=x(n)exp(-p＋qf(x(n－τ)))＜x(n)。

即，∃N1＞0，当n－τ＞N1时，数列x(n)单调递减。又由于x(n)有界，则由单调有界原理可得x(n)存在极限。设

此时对方程(1)两边取极限可得

即(4)成立。

(Ⅱ)当x(n)-Z1最终负时，则有

∃N2-＞p 0，＋q当f(x n (n－－ττ＞) ) N＜2时0，，总有x(n－τ)＜所以

因此得

x(n＋1)=x(n)exp(-p＋qf(x(n－τ)))＜x(n)。

即，∃N2＞0，当n－τ＞N2时，数列x(n)单调递减。又由于x(n)有界，则由单调有界原理可得x(n)存在极限。设

此时对方程(1)两边取极限可得

则有

b=0，

即(3)成立。定理证毕。

注：特别地，k=1时，是文献[1]中方程。因此，本章的方程更具一般性，适用范围更广。

[1]安存斌，明亚东，王新年.一类离散非线性人口模型的平衡解与渐近性[J].太原师范学院学报：自然科学版，2010，9(1)：46-47.

[2]Saker SH.Periodic Solution and Attractivity ofDiscrete nonlinearDelay Population Model[J].Mathematicaland ComputerModelling，2008(47)：278-297.

[3]谷丽彦，梁海燕.带强迫项的非线性高阶中立型微分方程解的渐近性和振动性[J].工程数学学报，2004，21(3)：330-334.

[4]张广，高英.差分方程的振动理论[M].北京：高等教育出版社，2001.

〔责任编辑 高 海〕

Steady Solutions and Asym ptotic Babavior for a Discrete Nonlinear T ime Delay Population Model

AN Cun-bin，CHEN Hui-qin，MING Ya-dong
(School ofMathematics and Computer Sciences，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009)

In this acticle，s teady solutions and asymptotic behavior of solutions for a difference equation are studied and the sufficient conditions for asymptotic behavior of solutions are acquired withmonotone bounded principle.

discrete；time delay；steady solutions；asymptotic behavior

O175.15

A

2013-01-11

安存斌(1979-)，男，山西山阴人，硕士，讲师，研究方向：差分与常微分方程。

1674－0874（2013）03－0003－02