非线性带涂层圆柱形复合介质的电势分布

郝艳花，张 英，乔世东

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009）

非线性带涂层圆柱形复合介质的电势分布

郝艳花，张 英，乔世东

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西 大同 037009）

利用摄动方法，研究了在外加交流电场E=E1sinωt＋E2sin3ωt＋E5sin5ωt的作用下，非线性带涂层圆柱形复合介质的电势分布，这种介质的电流密度J和电场强度E之间满足的关系为Jα=σαE＋χα｜E｜2E。

非线性复合介质；摄动方法；交流电场；电势分布；低杂质浓度

近年来，非线性复合介质在外加电场作用下的电势分布引起了众多研究者的兴趣，在这方面也取得了许多研究成果。例如，Levy[1]与Hui[2]已经得到了非线性复合介质的高阶有效性响应，并得出了复合介质的这种有效性响应依赖于外加应用场的谐波频率的结论；Gu[3]利用摄动法导出了在外加直流电的情形下，非线性复合介质的有效电导率；在低浓度下，Gu[4]和Wei[5]通过把Kerr型非线性复合介质放入到简单的正弦场下，得到了Kerr型非线性复合介质的有效的交流电响应；通过把球形复合介质随机放入到一个交流电场中，Wei[6]研究了所采用的电场对这种球形颗粒的非线性复合介质的有效的交流电响应的影响；在外加简单正弦场低杂质浓度下，Chen[7]和Wei[8]还研究了非线性带涂层球形和圆柱形复合介质在各谐波频率下电势分布和有效的交流电响应，并给出了各响应之间的关系；在外加交流电场为Eα=E1sinωt＋E3sin3ωt的激发下，Chen[9]和Wei[10]利用摄动方法分别研究了非线性Kerr型复合介质的有效性响应；Hao和Chen[11]利用摄动方法研究了两种非线性Kerr型带涂层球形复合介质在外部交流电场Eα=E1sinωt＋E3sin3ωt作用下的有效性响应问题等等。实际上，由外部交流电所感应出的这种不同的局部谐和场对非线性复合介质的电势分布有着非常重要的影响。对不同的外加电场，电势分布也不同。在实际问题中，球形和圆柱形颗粒杂质随机嵌入基质所形成的复合介质材料最为常见，所以有必要研究非线性球形和圆柱形复合介质在外加电场作用下的电势分布。本文研究一种非线性带涂层圆柱形复合介质的电势分布，假设电流密度J和电场强度E之间满足的关系为：

Jα=σαE＋χα｜E｜2E，inΩα，α＝i，c，h。（1）其中，下标α＝i，c，h分别表示对应于杂质颗粒内部、涂层和基质的物理量，ΩiΩc和Ωh分别表示杂质颗粒内部，涂层和基质所占空间区域，σα和χα分别是线性和非线性介电常数且与外加电电场无关。考虑低频过程，因而电流密度J和电场强度E分别满足控制方程：▽·J＝0和▽×E＝0。其边界条件为电势和电流密度在内外两种杂质界面及外层杂质和基质界面上是连续的。

1 非线性交流电过程的摄动方法

考虑将内部半径为a，涂层半径为b的圆柱形杂质颗粒随机嵌入基质中所形成的弱非线性复合介质，设外加电场为

E=E1sinωt＋E2sin3ωt＋E5sin5ωt，

将x点的电势作摄动展开，其形式为：

对于弱非线性复合介质，可以选用摄动展开法来处理电势。将基质区域的非线性介电常数作为摄动参数，则电势χh可以展开成如下形式：

再利用电场强度和电势的关系Eα＝－▽Φα（x，t），将方程（2）和（3）代入到方程（1）中，则可以得到电流密度J在杂质和基质区域的摄动展开式为：

其中，Jα（x）是电势Φkα（x）（s=1，3，5，…，k=0，ss1，2，3，…）的函数。

如果（3）式中每一项满足相应的控制方程，则控制方程▽·J=0将成立，于是得到一组关于（x）的方程：：

电势和电流密度的边界条件分别为：

这里∂Ωi和∂Ωc表示内外两层杂质界面和外层杂质与基质界面。

无穷远处的电势满足如下关系：

2 非线性复合介质的电势分布

由方程（4）（5）可得零阶电势在谐波频率ω，3ω和5ω下的控制方程分别为：

利用边界条件（8）～（10），求解上述方程可得频率为ω，3ω和5ω的零阶：

这里，P1（cosθ）=cosθ是一阶Legendre多项式，系数A0，a0和B0分别是

同理，利用在频率为ω，3ω和5ω下的零阶电势，可得在频率为ω，3ω和5ω下一阶电势的控制方程分别为：

其中，βα=χh/χh，α=i，c，h。利用边界条件（6）（7）（8）（9）（10），求解上述方程可分别得到在频率为ω，3ω和5ω下杂质颗粒内部、涂层和基质区域的一阶电势为：其中，P3（cosθ）＝（5cos3θ＋3cosθ）蛐8是三阶Legendre多项式。下面给出几个有用系数：

这里，

3 小结

本文利用摄动方法研究了非线性带涂层圆柱形复合介质在外部交流电电场作用下的电势分布问题，利用这种方法还可以研究非线性带涂层其它复合介质在外部交流电电场作用下的电势分布问题。

[1]Levy O，Bergman D J，Stroud D G.Harmonic generation，induced nonlinearity，and optical bistability in nonlinear composites[J].Phys Rev E，1995，52：3184-3194.

[2]HuiPM，Cheung P.Second and third harmonic generations in random composites ofnonlinear dielectrics[J].Phys B，2000，279：45-47.

[3]Gu G Q，Yu KW.Effective conductivity of nonlinear composites[J].Phys Rev B，1992，46（8）：4502-4507.

[4]Gu G Q，Hui PM，Yu KW.A theory of nonlinear AC response in nonlinear composites[J].Phys B，2000，279：62-65.

[5]Wei E B，Song JB，Gu G Q.Effective response of a non-linear composite in external AC electric field[J].Phys B，2002，324：322-328.

[6]Wei E B，Tian JW，Song JB.A theory of nonlinear AC response in coated composites[J].Chin Phys，2004，13（3）：388-392.

[7]Chen XG，Liang FC，WeiE B.Effective nonlinear AC response to compositeswith spherical particles[J].Chin Phys，2005，14（6）：1217-1222.

[8]WeiEB，Tian JW，Song JB.Dielectric response of compositeswith graded cylindrical particles[J].JPhys CondensMatter，2003，15：8907-8915.

[9]Chen XG，WeiEB，Song JB.Effective AC responseofnonlinearsphericalcoated composites[J].TheorPhys，2004，41（5）：771-774.

[10]Wei E B，Yang ZD，Gu G Q.Effective ac response in weakly nonlinear composites[J].Appl Phys，2004，37（4）：107-111.

[11]Hao Yan-Hua，Chen Xiao-Gang，Hou Rui，etal.Effective ACResponseofNonlinear SphericalCoated Composites[J].Chin PhysB.2010，19（6）：067202－1－067202－6.

[12]梁昆淼.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，1988：273-362.

〔责任编辑 李 海〕

Potential in the Coated Nonlinear Cylindrical Com posite

HAO Yan-hua，ZHANG Ying，QIAO Shi－dong
（School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

In this paper，the potential distributions in the coated nonlinear cylindrical composite is investigated under the action of an external AC electric field E＝E1sinωt＋E2sin3ωt＋E5sin5ωt by using the perturbationmethod.The constitutive relation between current density J and electric field E in the inclusion and host regions is Jα＝σαE＋χα｜E｜2E.

nonlinear composites；the perturbationmethod；AC electric field；the potential distributions；a dilute limit

O174.5

A

2012-12-05

山西大同大学科学研究基金项目[2011K6]

郝艳花（1973-），女，山西 大同 人，硕士，讲师，研究方向：偏微分方程与数值计算。

1674－0874（2013）01－0034－03